Flächenbilanz Definition < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 So 25.03.2012 | | Autor: | Sr-X |
Hi, ich bin neu hier.
Übermorgen schreibe ich eine Mathearbeit in meinem Mathe-GK im Jahrgang 12. Es geht um Kurvenscharen, Ortslinien, Integralrechnung und unter anderem auch durch Flächenbilanzen. Meine Nachhilfelehrerin, sonst bei allen Themen echt fit, konnte mir auf die Schnelle keine vernünftige Definition für Flächenbilanzen geben, deshalb wende ich mich an euch:
Was ist überhaupt eine Flächenbilanz und was errechne ich mit ihr? Gibt es eine wichtige Formel, die ich beim Berechnen dieser Flächenbilanzen benutzen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sr-X und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Deine Frage ist sehr einfach zu beantworten: die Flächenbilanz über einem Intervall [a,b] ist einfach die geometrische Interpretation des bestimmten Integrals
[mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
Da in diese Rechnung solche Flächen, die unterhalb der x-Achse liegen, negativ eingehen, spricht man von einer Bilanz. So haben bspw. die Sinus- und die Kosinusfunktion über dem Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] die Flächenbilanz 0, da die Flächenstücke, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen, jeweils gleich groß sind.
Die Frage nach der Formel ist ja beantwortet: das bestimmte Integral ist die Formel.
Was man damit berechnet? Das ist, wie so oft in der Mathematik, ein weites Feld. Man muss bspw. eine Funktion nicht zwangsläufig als Schaubild in einem Koordinatensystem ansehen.
Wenn eine Funktion bspw. in der Physik die Geschwindigkeit eines Massenpunktes in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, dann ist der zurückgelegte Weg dieses Punktes das Integral dieser Funktion über der Zeit. Und wenn der Punkt auf seiner Bahn sich vor- und rückwärts bewegt, dann würde die Geschwindigkleit positive und negative Werte annehmen. Die Flächenbilanz wäre dann einfach die schlussendliche Ortsänderung dieses Punktes, man berücksichtigt dann seinen insgeamt zurückgelegten Weg nicht mehr. Diesen würde man wiedewrum bekommen, wenn man die Gesamtfläche zwischen Zeitachse der Geschwindigkeitsfunktion ausrechnen würde.
Das ist eines von unendlich vielen denkabren Beispielen. Hat es dir geholfen, den Begriff zu verstehen?
Gruß, Diophant
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