Flächeninh. Kreisringausschnit < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist ein Kreisringausschnitt, dessen äußerer Bogen 9,5 cm und innerer Bogen 7,6 cm lang ist. Die Dicke des Ringausschnitts beträgt 1,15 cm. Berechne den Flächeninhalt.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich habe da folgendes Problem. Ich muss von dem angegebenen Kreisringausschnitt den Flächeninhalt berechnen, bin mir aber nicht ganz sicher, wie ich das machen kann. Ich hatte daran gedacht, dass man den Kreisringausschnitt in ein Trapez verzerren kann, da der Abstand zwischen a und c ja überall gleich ist, womit ich 1,15 m als Höhe h hätte. Nach A = 0,5 * (a + c) * h hätte ich also 9,8325 m².
Würde es alternativ reichen, wenn ich einen der inneren Winkel gegeben hätte oder brauch ich auf jeden Fall den Kreismittelpunkt?
Ich brauche auf jeden Fall die exakten Maße, keine Abschätzung. Schonmal vielen Dank im voraus für eure Hilfe.
Gruß
Pythagoras
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Ich würde es nicht mit einem Trapez machen, sondern mit einem Kreis.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es sind nicht bekannt:
r (Radius des kleinen Kreises) und [mm] \alpha [/mm] (Winkel des Kreisausschnittes)
Wenn du nun 2 Gleichungen aufstellst, in dem diese beiden Unbekannten vorkommen, dann sollte sich das Gleichungssystem lösen lassen.
Diese beiden Gleichungen ergeben sich aus dem Verhältnis zwischen Radius und Umfang des inneren Kreises, sowie Radius und Umfang des äußeren Kreises. Der Radius des äußeren Kreises ist 1,15 cm länger als der des inneren Kreises.
Als nächstes kannst du den Winkel [mm] \alpha [/mm] ausrechnen, und dann die Flächen der "Tortenstücke", und die Differenz der beiden Flächen ist dann deine gesuchte Fläche.
So müsste es klappen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo rabilein1,
der Kreis war natürlich auch meine erste Idee, nur leider komm ich da nicht so ganz weiter. Folgendes:
Umfang des inneren Kreisausschnitts ist:
[mm] U_1 = 2 * \pi * r[/mm]
der des gesamten Kreisausschnitts ist:
[mm] U_2 = 2 * \pi * (r + 1,15)[/mm]
das einzige was ich damit anzustellen wüsste, wäre nach r auflösen und gleichsetzen, wobei
[mm] U_2 = U_1 + 2,3 * \pi[/mm]
rauskommt, was mir aber für die Berechnung des Radius ja nicht wirklich weiterhilft
mir ist aber inzwischen eine andere Idee gekommen, wobei ich auch da nicht genau weiß, ob die möglich ist.
Kann ich in diesem Fall nicht auch den Strahlensatz anwenden? Dann hätte ich mit [mm]b_2[/mm] für den äußeren Bogen und [mm]b_1[/mm] für den inneren Bogen:
[mm]\bruch{r}{b_1}=\bruch{r+1,15}{b_2}[/mm]
damit bekäme ich dann für den Radius
[mm]r = \bruch{1,15 * b_1}{b_2 - b_1} = 4,6[/mm]
raus.
Den Winkel und Flächeninhalt zu berechnen wäre dann einfach, aber wie gesagt, kann ich den Strahlensatz hier anwenden? (Google gibt mir da zu viele uneindeutige Aussagen, die ich ungern alle durchlesen möchte)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 So 10.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Herr Pythagoras!
Die Strahlensätze darfst Du doch nur für paralelle Geraden verwenden.
Hier mein Ansatz:
[mm] $b_1 [/mm] \ = \ 7.6 \ = \ [mm] \bruch{\alpha}{360°}*u_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\alpha}{360°}*2\pi*r_1$
[/mm]
[mm] $b_2 [/mm] \ = \ 9.5 \ = \ [mm] \bruch{\alpha}{360°}*u_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\alpha}{360°}*2\pi*r_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\alpha}{360°}*2\pi*(r_1+1.15)$
[/mm]
Nun kannst Du beide Gleichungen nach [mm] $\alpha [/mm] \ = \ ...$ umstellen und gleichsetzen.
Gruß
Loddar
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mhh, mit deinem ansatz komm ich auf genau das gleiche ergebnis wie mit meinem. das ergebnis ist im übrigen auch das gleiche, wenn ich (wie oben angesprochen) die figur zu einem trapez "verzerre". also entweder großer zufall oder alle lösungswege sind richtig ;)
vielen dank für eure hilfen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 So 10.06.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Da du r ja nun richtig ausgerechnet hast (ich bin da auch auf 4.6 cm gekommen), kannst du als nächtes den Winkel [mm] \alpha [/mm] ermitteln.
Wie groß wäre der Umfang, wenn der Kreis 360° hätte?
Und wie groß ist der Umfang des Kreis-Ausschnittes?
Das Verhältnis muss sein: [mm] \bruch{\alpha}{360}=\bruch{Teilumfang}{Vollumfang}
[/mm]
Wie groß wäre die Fläche von einem 360°-Kreis mit dem Radius r?
Und wie groß ist die Fläche dann bei einem Winkel [mm] \alpha?
[/mm]
So kommst du dann schrittweise zur Lösung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 So 10.06.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> Die Strahlensätze darfst Du doch nur für paralelle Geraden
> verwenden
Da bin ich anderer Ansicht.
Meines Erachtens kann man durchaus annehmen, dass [mm] \bruch{r}{7.6}=\bruch{r+1.15}{9.5}
[/mm]
Weil: Für einen Voll-Kreis gilt [mm] U=2r\pi
[/mm]
Dann gilt für einen Teil-Kreis mit dem Winkel [mm] \alpha: \bruch{U*\alpha}{360}=\bruch{2r\pi*\alpha}{360}
[/mm]
Und in der obigen Aufgabe ist der Winkel [mm] \alpha [/mm] ja für den kleinen Kreis genauso groß wie für den großen Kreis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 So 10.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ralph!
Dem würde ich auch überhaupt nicht widersprechen. Nur handelt es sich bei dieser Verhältnisrechnung nicht um einen der Strahlensätze.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 So 10.06.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Das Wort "Stahlensatz" ist hier nicht richtig. Insofern hast du Recht.
Wichtig für den Schüler ist es aber, zu wissen, welche Abschnitte er zueinander ins Verhältnis setzen darf.
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