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| Aufgabe | Bestimme den Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse in Abhängigkeit von a:
[mm] \wurzel{ax^2-x^4} [/mm] |
Ich weiß, dass ih hier mit Substitution weiter komme, allerdings weiß ich nicht, wie ich das nun anstellen soll. Wäre nett, wenn mir jemand hilft
lg Hubert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Di 07.11.2006 | | Autor: | DesterX |
Hallo!
Zunächst einmal stellen wir fest, dass:
f(x)= [mm] \wurzel{ax^2-x^4} [/mm] = x* [mm] \wurzel{a-x^2} [/mm]
Diese Funktion ist punktsymmetrisch - denn es gilt f(-x)=-f(x) !
Um die Fläche zwischen x-Achse und Funktion zu berechnen, ermitteln wir mal die Nullstellen -
wir erhalten [mm] x_1=- \wurzel{a}, x_2=0 [/mm] und [mm] x_3= \wurzel{a}
[/mm]
Aufgrund der Punktsymmetrie berechnen wir jetzt einfach
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{a}}{f(x) dx} [/mm] und verdoppeln das Endergebnis um die gesamte Fläche zu erfassen! Wenn dir das nicht so klar ist, skizziere dir am besten mal Funktion für ein bestimmtes a>0!
Nun zur Integration: setze [mm] u=a-x^2 [/mm] => du = -2*x dx
Ich denke ab hier kannst du selber fortfahren ...ansonsten meld dich nochmal!
Viel Erfolg
Gruß
Dester
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wie genau kommt man auf du= -2x dx ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Di 07.11.2006 | | Autor: | DesterX |
Hi Hubert!
Mathematisch betrachtet ist das ziemlich unsinnig was ich nun schreibe, da man mit den Differenzen nicht einfach umgehen kann, wie mit Platzhaltern in Gleichungen - dennnoch wird es dir vllt. helfen:
Wir setzen [mm] u(x)=a-x^2 [/mm] => [mm] "\bruch{du}{dx}={-2x}" [/mm]
Das ist die Ableitung von u nach x- nun wollen wir dx im Integral ersetzen und erhalten durch Umstellen [mm] "\bruch{1}{-2x}du [/mm] = dx"
Das setzt du nun für das dx ein - wie du siehst fällt das x im Integral ganz weg, wir haben nur noch die Variable u - das ist der "Trick" !
Gruß
Dester
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Di 07.11.2006 | | Autor: | Dunbi |
Ich würde das ganze ein bisschen anders angehen, da es ja "Zufall" ist, dass die Funktion Punktsymmetrisch ist.... Also würde ich es mit der Substitutionsregel machen:
[mm] \wurzel{ax^2-x^4} [/mm]
[mm] \gdw f(x)=(ax^2-x^4)^{1/2} [/mm]
[mm] \gdw f(x)=g(x)^{1/2} [/mm]
--> [mm] f(g)=g^{1/2} [/mm]
--> [mm] F(g)=(2/3)*g^{3/2}[/mm]
[mm] \integral_{g(b)}^{g(c)}{f(g) dx} = F(g(c))-F(g(b)) [/mm]
und schon bist du fertig...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 07.11.2006 | | Autor: | DesterX |
Hallo Dunbi,
ich versteh nicht wirklich worauf du hinauswillst!? Es geht ja hier um die Angabe eines konkreten "Flächeninhalts" - die Punktsymmetrie verwende ich, da ich, sollte ich von [mm] -\wurzel{a} [/mm] bis + [mm] \wurzel{a} [/mm] integriere, einen Flächeninhalt von 0 erhalte - die eine "begrenzte Fläche" liegt oberhalb der x-Achse, die 2. punktsymmtrisch unterhalb der x-Achse!
Das ändert sich durch deine Substitution auch nicht -
Ein alternativer Weg, wäre allenfalls | [mm] \integral_{-\wurzel{a}}^{0}{f(x) dx} [/mm] | + [mm] \integral_{0}^{\wurzel{a}}{f(x) dx} [/mm] zu berechnen...
Gruß
Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Dunbi |
Ihr habt total Recht....habe mich total geirrt...sorry
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Substitutionsregel