Flächeninhalt? < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
hallo helfer,
hab hier eine aufgabe bei der ich fast fertig bin, aber das ende nicht richtig weiß...
P(u;v) mit 0<u<10 ist ein Punkt des
Graphen[mm]g_3=\bruch{1}{4}x^2-3x+9[/mm].
Bestimme den Inhalt des Quadrates mit der Strecke [mm]\overline{PQ}[/mm]
und Q(0;9) als Seitenlänge in Abhängigkeit von u.
Für welches u wird der Flächeninhalt des Quadrates maximal?
ich habe jetzt für die strecke [mm] \overline{PQ}=\wurzel{\bruch{1}{16}u^4-\bruch{3}{2}u^3+10u^2}[/mm] und für die fläche [mm] \overline{PQ}^2=\bruch{1}{16}u^4-\bruch{3}{2}u^3+10u^2[/mm] doch wie weiter? ich weiß zwar das ich [mm]\left|\overline{PQ}\right|[/mm] 0 setzen um u zu ermitteln und dann in eine gleichung einsetzen ([mm]\left|\overline{PQ}\right|[/mm]???) muss um v zu bekommen doch wie hängt das mit der aufgabenstellung zusammen?bitte helft mir!!
danke !!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Sa 09.04.2005 | | Autor: | leduart |
> ich habe jetzt für die strecke
> [mm]\overline{PQ}=\wurzel{\bruch{1}{16}u^4-\bruch{3}{2}u^3+10u^2}[/mm]
> und für die fläche
> [mm]\overline{PQ}^2=\bruch{1}{16}u^4-\bruch{3}{2}u^3+10u^2[/mm]
Richtig
> wie weiter? ich weiß zwar das ich
> [mm]\left|\overline{PQ}\right|[/mm] 0 setzen um u zu ermitteln und
> dann in eine gleichung einsetzen
Falsche Idee! Wenn PQ=0 dann ist doch der Flächeninhalt auch Null und deshalb sicher nicht maximal!
Maxima findet man durch Ableitung der Funktion [mm] F(u)=PQ^{2} [/mm] nach u und Nullsetzen!
Dann noch Nachprüfen ob es ein Minimum oder Maximum ist.(Ein Minimum hast du ja schon bei u=0, weil da der Flächeninhalt 0 ist. Extrema mit negativem u sollst du ja nicht ansehen und u>10 auch nicht.
Damit solltest du weiterkommen
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
leduart, danke für die schnelle antwort,
es hat mir in der tat weitergeholfen.
ich habe nun [mm]\overline{PQ}^2[/mm] abgeleitet und hab die 1.ableitung null gesetzt, u ausgeklammert(u=0-->Minimum) und hab dann für[mm]u=\bruch{1}{2}[/mm]erhalten. ( ein weiteres u (fkt. 3.grades) ergab 17,5 , liegt nicht im intervall--> fällt daher raus) .jetzt hab ich [mm]\bruch{1}{2}[/mm] in [mm]\overline{PQ}^2[/mm] eingesetzt und hab für y(extrempunkt)=2,3 (muss ich das überhaupt hier wissen?)dieser extrempunkt ist ein Maximum.das heißt für [mm]u=\bruch{1}{2}[/mm] ist der flächeninhalt maximal.
stimmt das??
danke vielmals!
|
|
|
| |
|
hallo loddar,
ich habe für [mm] \overline{PQ}^2=\bruch{1}{16}u^4-\bruch{3}{2}u^3+10u^2[/mm] in der 1. ableitung [mm]\bruch{1}{4}u^3-\bruch{9}{2}u^+20u[/mm]des weiteren in der 2.ableitung [mm]\bruch{3}{4}u^2-9u+20[/mm] und in der 3.(brauch ich hier nicht, aber dennoch zu kontrolle)[mm]\bruch{3}{2}-9[/mm].
jetzt hab ich [mm]f'(x)=\bruch{1}{4}u^3-\bruch{9}{2}u^+20u[/mm]mit[mm]4[/mm] multipliziert, um [mm]x[/mm] auszuklammern, womit ich dann mit [mm]u_{2|3}=9\pm\wurzel{73}[/mm] die beiden stellen...u.a. eben [mm]u=\bruch{1}{2}[/mm] bekomme.wo ist mein fehler??
danke für die kontrolle!!
|
|
|
| |
|
hallo loddar,
nun der ansatz der pq-formel lautet:
nach dem ausklammern von u [mm]u(u^2-18u+8)[/mm]folgt[mm]u_{2|3}=9\pm\wurzel{81-8}[/mm]=[mm]u_{2|3}=9\pm\wurzel{73}[/mm]=[mm]u_{2|3}=9\pm\approx8,5[/mm].
aaaaaaaaaahhhhhhhhhhhhhhh...das licht, ich sehe es!!!!!!!!
ich hab nach dem multiplizieren mit 4 nicht wieder die 80 sondern nur die 8 übernommen!!!!!...so komme ich dann auf [mm]u_{2|3}= 10 und 8[/mm]
das sollte er sein,oder?
danke für die antwort
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 So 10.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Heinrich_XXIII ...
> aaaaaaaaaahhhhhhhhhhhhhhh...das licht, ich sehe es!!!!!!!!
> ich hab nach dem multiplizieren mit 4 nicht wieder die 80
> sondern nur die 8 übernommen!!!!!...so komme ich dann auf
> [mm]u_{2|3}= 10 und 8[/mm]
> das sollte er sein,oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das sind ganz genau die Werte, die ich auch ermittelt habe ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
alles klar, ich danke dir...
jetzt möcht ich nur gern noch zum schluß wissen...ich habe ja jetzt das u für welches der flächeninhalt maximal wird.jetzt hieß ja meine erste teilaufgabe"bestimme den inhalt des quardates in abhängigkeit von u".nun ich habe jetzt das ermittelte u in [mm]\overline{\left| PQ \right|^2} [/mm] eingesetzt und bin auf einen realistischen wert von 128 und für die strecke [mm]\overline{\left| PQ\right|} [/mm] von rund 11,3 gekommen.der inhalt war ja gefragt, aber wäre es von bedeutung nochmal die strecke zu verdeutlichen??
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 So 10.04.2005 | | Autor: | Loddar |
> der inhalt war ja gefragt, aber wäre es von
> bedeutung nochmal die strecke zu verdeutlichen??
Irgendwie erschließt sich mir gerade nicht, was Du jetzt wissen willst ...
Meinst Du die geometrische "Bedeutung" bzw. Darstellung dier Quadratseite $u$ ?
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
hallo nochmal
nun, die werte hab ich ja nun in abhängigkeit von u was den inhalt betrifft berechnet.ich meinte jetzt ob die darlegung der länge für die strecke[mm]\overline{PQ}[/mm] relevant für mein bespiel ist?
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 So 10.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
Na, für diesen Wert [mm] $u_E [/mm] \ = \ 8$ ist doch das betrachtete Quadrat (bzw. dessen Flächeninhalt) maximal!
Alle anderen Quadrate, die durch diese vorgegebene Konstruktionsweise entstehen, sind flächenmäßig kleiner.
Daher haben wir doch die Extremwertberechnung (1. Ableitung, Null-setzen etc.) überhaupt durchgeführt ...
Ist es das, was Du gerade wissen möchtest?
*immer-noch-auf-dem-schlauch-steh-und-verwirrt-in-der-gegend-umschau*
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
hallo,
nein ich will dich nicht mehr "auf-dem-schlauch-stehen-lassen"da ich denke meine frage ist für mein bespiel nicht von bedeutung.ich habe jetzt den flächeninhalt des quadrates in abhängigkeit von u sowie den wert für welches der inhalt maximal wird.vielen dank für deine logischen denkhilfen!
!!!!!!!!!!!!!!!
mfg
heinrichXXIII
|
|
|
| |
|
Hi, Heinrich,
nachdem Loddar die Frage nach dem Rechenfehler beantwortet hat, kümmere ich mich nun um die "Mathematik":
> ich habe für
> [mm]\overline{PQ}^2=\bruch{1}{16}u^4-\bruch{3}{2}u^3+10u^2[/mm] in
> der 1. ableitung [mm]\bruch{1}{4}u^3-\bruch{9}{2}u^+20u[/mm]des
Da fehlt das [mm] u^{2}, [/mm] sonst könntest Du ja die letzten beiden Summanden zu 15,5*u zusammenfassen und die Rechnung wäre viel einfacher!
> weiteren in der 2.ableitung [mm]\bruch{3}{4}u^2-9u+20[/mm] und in
> der 3.(brauch ich hier nicht, aber dennoch zu
> kontrolle)[mm]\bruch{3}{2}-9[/mm].
> jetzt hab ich [mm]f'(x)=\bruch{1}{4}u^3-\bruch{9}{2}u^+20u[/mm]
f'(x) = "Term in u".
Das heißt: Die Ableitung der Funktion ist KONSTANT, denn wenn Deine Variable x heißt, kann u nur ein Parameter sein!
Also bitte aufpassen. Es gibt in der Mathematik nicht nur "Rechenfehler", sondern eben auch "formale Fehler". Eine Aufgabe bringt nicht automatisch volle Punktzahl, nur weil das Endergebnis stimmt!
Nix für ungut!
|
|
|
| |
|
hallo ihr,
warum kann ich meine gesendete nachricht nicht in der fragenübersicht erkennen sondern nur wenn ich auf den fragenbaum respektive der gestellten frage klicke??
kannsich jemand diese antwort bitte anschauen?
(antwort auf loddar)
danke
mfg heinrichXXIII
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 So 10.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Heinrich_XXIII,
ich nehme mal an, daß der Server heute auch etwas in Wochenend-Stimmung ist.
Bei mir ist das heute auch schon aufgetreten. Bitte einfach etwas Geduld haben ...
Gruß
Loddar
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier habe ich etwas andere Ergebnisse ...
p/q-Formel