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hi
wir fangen gerade an Flächen unter graphen im bezug auf die x achse zu ermitteln. Nun haben wir uns überlegt diese in Rechtecke zu unterteilen und nun wollten wir die eine seite des rechtecks immer kleiner werden zu lasse, damit es im endefffekt nur noch "eine linie" ist. gegeben ist die funktion [mm] F(x)=-x^2+4
[/mm]
nun sollen wir im Intervall [0;2] den flächeninhalt ausrechnen ich habe dazu folgenden ansatz aber komme damit nicht so recht weiter:
A=a*b
a soll möglichst klein werden d.h. 1/n n-> [mm] \infty
[/mm]
und dann hat man in der klammer noch die b werte welche den werten von f(x) entsprechen...
d.h. A=1/n*(f(1/n)+f(2/n)+....+f(n/n))
ist mein ansatz richtig bzw wenn ja was kann ich nun tun??
mfg christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mi 08.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> wir fangen gerade an Flächen unter graphen im bezug auf die
> x achse zu ermitteln. Nun haben wir uns überlegt diese in
> Rechtecke zu unterteilen und nun wollten wir die eine seite
> des rechtecks immer kleiner werden zu lasse, damit es im
> endefffekt nur noch "eine linie" ist.
Die Linie ist in der mathematik eindimensional, deshalb meinst du das richtige, man sollte aber lieber "beliebig schmales Rechteck" sagen!
gegeben ist die
> funktion [mm]F(x)=-x^2+4[/mm]
> nun sollen wir im Intervall [0;2] den flächeninhalt
> ausrechnen ich habe dazu folgenden ansatz aber komme damit
> nicht so recht weiter:
>
> A=a*b
> a soll möglichst klein werden d.h. 1/n n-> [mm]\infty[/mm]
> und dann hat man in der klammer noch die b werte welche
> den werten von f(x) entsprechen...
> d.h. A=1/n*(f(1/n)+f(2/n)+....+f(n/n))
> ist mein ansatz richtig bzw wenn ja was kann ich nun
> tun??
Dein Ansatz ist 100% richtig! Aber jetzt musst du dein gegebenes f(x) einsetzen und dann versuchen zu vereinfachen:
1. was passiert mit den vielen 4en
2.dann aus der Summe alles ausklammern was geht!
3. den Rest in der Klammer ansehen: da sollte dann was stehen wie [mm] (1^{2}+2^{2}+3^{2}+.....)
[/mm]
und nun kennst du dafür ne zusammenfassende Formel, oder du suchst nach einer, oder du überlässt das deinem Lehrer, oder, wenn du sie unbeding brauchst frag noch mal nach. Aber bis zu der Klammer solltest du allein kommen.
Gruss leduart
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Gut nun habe ich die f(x) werte einfach mal ausgerechnet ...
A=1/n*(4-1/n²+4-4/n²+....+0)
Nun habe ich die 4 ausgeklammert und 1/n²
A=1/n*4*1/n²*(1+4+...+0)
und wie komme ich dann im endeffekt auf den flächeninhalt??
wenn ich den grenzwert mache komme ich irgendwie nicht auf das richtige ergebnis (d.h. n gegen unendlich laufen lasse)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christian!
Vom Prinzip her machst Du alles richtig! Aber ...
Zwei kleine Korrekturen sind erforderlich. Da Du den Flächeninhalt im Intervall [mm] $\left[ \ 0; \red{2} \ \right]$ [/mm] ermitteln sollst, beträgt Deine Breite der einzelnen Rechtecke:
$b \ = \ [mm] \bruch{\red{2}}{n}$
[/mm]
Damit wird Deine Aufsummierung zu:
$A \ = \ b*a \ = \ [mm] \bruch{\red{2}}{n} [/mm] * [mm] \left[ f\left(1*\bruch{\red{2}}{n}\right) + f\left(2*\bruch{\red{2}}{n}\right) + f\left(3*\bruch{\red{2}}{n}\right) + ... + f\left(n*\bruch{\red{2}}{n} \right) \right]$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{2}{n} [/mm] * [mm] \left[4-\left(1*\bruch{2}{n}\right)^2 + 4-\left(2*\bruch{2}{n}\right)^2 + 4-\left(3*\bruch{2}{n}\right)^2 + ... + 4-\left(n*\bruch{2}{n}\right)^2 \right]$
[/mm]
Nun klammern wir überall in der großen Klammer [mm] $\left(\bruch{2}{n}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{n^2}$ [/mm] aus.
Zudem habe wir den Summanden 4 insgesamt n-mal da stehen:
$= \ [mm] \bruch{2}{n} [/mm] * [mm] \left[4*n-\bruch{4}{n^2}*\left(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2\right)\right]$
[/mm]
Hier lag Dein 2. Fehler: der letzte Summand ist nicht 0, sondern [mm] $n^2$ [/mm] !!
Nun große Klammer ausmultiplizieren:
$= \ [mm] \bruch{2}{n}*4*n-\bruch{2}{n}*\bruch{4}{n^2}*\left(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2\right)$
[/mm]
$= \ [mm] 8-\bruch{8}{n^3}*\left(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2\right)$
[/mm]
Nun wenden wir aus der Formelsammlung folgende Formel an:
[mm] $1^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] + [mm] 3^2 [/mm] + ... + [mm] n^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}$
[/mm]
Dies setzen wir in unseren Flächenterm:
$= \ [mm] 8-\bruch{8}{n^3}*\bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}$
[/mm]
Schaffst Du nun die Grenzwertbetrachtung für $n [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] alleine?
Gruß
Loddar
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vielen dank deine erklärung ist echt sehr verständlich und gut! habe alles soweit verstanden und nach anwenden des lim habe ich für den flächeninhalt 16/3 raus. Das einzige was ich noch nicht ganz 100% verstanden habe ist, warum man 2/n nimmt wenn das intervall von 0-2 geht. Ich meine wenn n gegen unendlich geht werden die rechtecke doch sowieso endlosklein?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christian!
> habe alles soweit verstanden und nach anwenden des lim
> habe ich für den flächeninhalt 16/3 raus.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig!
> Das einzige was ich noch nicht ganz 100% verstanden habe ist,
> warum man 2/n nimmt wenn das intervall von 0-2 geht.
Zu Beginn der Rechteckberechnung unterteilen wir doch unsere Intervall-Länge (in unserem Fall: $2-0 \ = \ 2$) in $n$ schmale Rechtecke.
Damit hat doch jedes einzelne dieser Rechtecke die Breite [mm] $b_i$ [/mm] mit:
[mm] $b_i [/mm] \ = \ [mm] \bruch{Gesamtbreite \ des \ Intervalles}{Anzahl \ der \ Rechtecke} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{n}$
[/mm]
Und genau diese Breite müssen wir dann auch jeweils in der Berechnung berücksichtigen.
Drehen wir den Spieß mal um!
Angenommen wir rechnen immer mit [mm] $b_i [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n}$, [/mm] dann wäre doch die Breite des jeweils betrachteten Intervalles völlig egal.
Das kann aber doch nicht sein, da bei einem größeren Intervall doch auch logischerweise eine größere Fläche unterhalb des betrachteten Funktionsgraphen entstehen muß. Klaro?
Gruß
Loddar
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jo habs verstanden und ist ja logisch, dass es nicht immer 1/n sein kann da ja sonst wie du schon gesagt hast das intervall ja keine rolle mehr spielt. DANKE!!
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Hallo Christian,
> wir fangen gerade an Flächen unter graphen im bezug auf die
> x achse zu ermitteln. Nun haben wir uns überlegt diese in
> Rechtecke zu unterteilen und nun wollten wir die eine seite
> des rechtecks immer kleiner werden zu lasse, damit es im
> endefffekt nur noch "eine linie" ist. gegeben ist die
> funktion [mm]F(x)=-x^2+4[/mm]
> nun sollen wir im Intervall [0;2] den flächeninhalt
> ausrechnen ich habe dazu folgenden ansatz aber komme damit
> nicht so recht weiter:
>
> A=a*b
> a soll möglichst klein werden d.h. 1/n n-> [mm]\infty[/mm]
> und dann hat man in der klammer noch die b werte welche
> den werten von f(x) entsprechen...
> d.h. A=1/n*(f(1/n)+f(2/n)+....+f(n/n))
> ist mein ansatz richtig bzw wenn ja was kann ich nun
> tun??
> mfg christian
Kennst du schon unsere  MatheBank ?
insbesondere Integral?
da findest du alle wichtigen Erklärungen.
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