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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mo 18.02.2008 | | Autor: | DanielH |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{8}(2x-16)\wurzel{4x}. [/mm] Der Koordinatenursprung O,der Punkt A(a/0)(0<a<8)und der Punkt B (a/f(a)) bestimmen ein Dreieck. Berechnen Sie den Wert von a, so dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird. Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt |
Also der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich bekanntlich mit der Formel [mm] A=\bruch{1}{2}a*b [/mm] berechnen. Leider hören hier auch schon meine Ideen auf. Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte
Gruß Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Mo 18.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist die Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{1}{8}(2x-16)\wurzel{4x}.[/mm] Der
> Koordinatenursprung O,der Punkt A(a/0)(0<a<8)und der Punkt
> B (a/f(a)) bestimmen ein Dreieck. Berechnen Sie den Wert
> von a, so dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird.
> Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt
> Also der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich
> bekanntlich mit der Formel [mm]A=\bruch{1}{2}a*b[/mm] berechnen.
Das ist doch schon ein Anfang.
Skizziere das Wesentliche.
Wähle als Grundseite die Strecke OA (Länge ist die x-Koordinate von A) und als Höhe die Strecke AB (Länge ist der Funktionswert f(a)).
Dann hast du eine Flächenformel mit nur einer Variablen (a), und dort suchst du mit der 1. Ableitung nach einer Extremstelle.
Viele Grüße
Abakus
> Leider hören hier auch schon meine Ideen auf. Wäre super,
> wenn mir jemand weiterhelfen könnte
>
> Gruß Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Di 19.02.2008 | | Autor: | DanielH |
Hallo Abakus,
vielen Dank für den Tipp. In die Formel [mm] A=\bruch{1}{2}a*b [/mm] habe ich für a einfach a eingesetzt und für b: [mm] (\bruch{a}{4}-2)\wurzel{4a}, [/mm] also [mm] A=\bruch{1}{2} (a(\bruch{a}{4}-2)\wurzel{4a}) [/mm] bzw. [mm] =\bruch{1}{2} (\bruch{a^2}{4}-2a)\wurzel{4a}. [/mm] Jedoch steht auf dem inzwischen ausgeteilten Lösungszettel die Funktion [mm] A=\bruch{1}{2}(4a-\bruch{a^2}{4})\wurzel{a}. [/mm] Jedoch kann ich meinen Fehler einfach nicht nachvollziehen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Di 19.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus,
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> vielen Dank für den Tipp. In die Formel [mm]A=\bruch{1}{2}a*b[/mm]
> habe ich für a einfach a eingesetzt und für b:
> [mm](\bruch{a}{4}-2)\wurzel{4a},[/mm] also [mm]A=\bruch{1}{2} (a(\bruch{a}{4}-2)\wurzel{4a})[/mm]
> bzw. [mm]=\bruch{1}{2} (\bruch{a^2}{4}-2a)\wurzel{4a}.[/mm] Jedoch
> steht auf dem inzwischen ausgeteilten Lösungszettel die
> Funktion [mm]A=\bruch{1}{2}(4a-\bruch{a^2}{4})\wurzel{a}.[/mm]
> Jedoch kann ich meinen Fehler einfach nicht nachvollziehen
Du hast eigenlich nichts falsch gemacht.
Es gilt noch [mm] \wurzel{4a}= \wurzel{4}* \wurzel{a}= 2\wurzel{a}, [/mm] man kann also den Faktor 2 noch in die Klammer nehmen oder mit dem vorangestellen Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] kürzen.
Allerdings fällt mir auf, dass [mm] (\bruch{a}{4}-2) [/mm] für a<8 negativ ist. Du hättest sicherheitshalber um deinen gesamten Term Betragsstriche setzen müssen (dein Flächeninhalt ist negativ).
Trotzdem wäre die Musterlösung falsch, wenn dort einfach der Faktor 4 aus der Wurzel weggelassen wurde (oder du hast ihn beim Abtippen vergessen).
Viele Grüße
Abakus
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