Flächeninhalt Phi- Funktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 14:28 So 11.05.2008 | | Autor: | Maggons |
| Aufgabe | Beweisen sie, dass der Flächeninhalt unter der Gauß'schen Glockenkurve
[mm] \phi(x)= \bruch{1}{\sigma*\wurzel{2*\pi}} [/mm] * [mm] e^{-\bruch{1}{2}*(\bruch{x-\mu}{\sigma}})^{2} [/mm]
1 beträgt. |
Hallo!
Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe.
Ich möchte als Integrationsgrenzen [mm] \infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] einsetzen; ich habe mit einem Lehrer das ganze mit Substitution über Polarkoordinaten und ein paar Tricks und Kniffe gelöst; glaube aber, dass dies für eine anschauliche Präsentation "zu viel ist" in der 13. Klasse, wenngleich ich damit eigentlich ganz gut zurecht gekommen bin.
Aber unter Anbetracht der Tatsache, dass die Leute in meiner Stufe weder mit Polarkoordinaten, Determinanten und Doppelintegralen "viel anfangen können" oder es jedenfalls schnell verstehen, möchte ich dies nicht so vorstellen.
Könnte mir evtl. jemand sagen wie ich dies "einfach" mit einem Verfahren wie z.B. dem Riemann- Verfahren oder dem Trapezverfahren lösen könnte und mir auch Ansätze liefern, da ich beim eigenen Recherchieren leider nicht mit dem Umgang der Integrationsgrenzen umgehen konnte.
Mit freundlichen Grüßen und herzlichem Dank für jegliche Hilfe
Marco
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum oder dergleichen gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 So 11.05.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich kenne auch bisher nur das Verfahren, in Polarkoordinaten zu gehen und dann r von 0 bis [mm] \infty [/mm] laufen zu lassen, dann [mm] \phi [/mm] von 0 bis 2/pi.
Ich glaube nicht, dass es von einem Schueler der 13. Klasse im Mathe LK zu viel verlangt ist, sich mit Polarkoordianten auseinanderzusetzen. Sieh es mal so: Wenn die Leute spaeter an die Uni gehen und schonmal etwas davon gehoert haben, dass es auch etwas anderes als das Karthesische Koord.system gibt, kann das nur von Vortiel sein. Du kannst den Leuten doch innerhalb von einer Minute erzaehlen, dass es Polarkoord gibt, dass man dann jeden Punkt anstatt seiner x y Komponenten genauso gut durch Abstand zum Ursprung und Drehwinkel beschreiben kann. Die Trafo-Gleichungen kann auch jeder sofort sehen, das sollte machbar sein.
Die 2D Integration ueber r und [mm] \phi [/mm] wird etwas schwieriger, das stimmt. Aber das kann man auch in endlicher Zeit relativ gut darstellen, warum aus einem $dx*dy$ dann $r dr [mm] d\phi$ [/mm] wird. Das kann man auch noch durch ¨Zeichnen¨ hinbekommen. Dann sagen, warum die Grenzen so gewaehlt werden und du hast die Loesung da stehen.
Sieh es einfach positiv: Ein Zeichen fuer alle Leute, dass es noch duetlich mehr Sachen gibt, die man in der Schule nicht lernt, mit denen das Leben aber einfacher wird, und den Stoff kann man zwar mit Schulwissen in der 13 nicht ganz in der Tiefe verstehen, aber zumindest zu sehen, dass es plausibel ist geht mE schon.
Achso: Ich habe die Frage mal als Umfrage deklariert, damit du auch noch andere Antworten auf die Frage bekommst.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 So 11.05.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Zunächst schönen Dank für deine Antwort aber irgendwie ist das in der momentanen Phase, wo die Noten quasi schon feststehen, für manche "einfach zu viel".
Da wir am Anfang mal mit Ober- und Untersummen an die ganze Integrationsgeschichte herangegangen sind, glaube ich, dass man das damit doch eigentlich ganz gut darstellen müssen könnte.
Mein größtes Problem liegt wohl darin, dass es ein uneigentliches Integral ist.
Falls ich z.B. die Formel zur Berechnung mit dem Trapezverfahren anwende, ist es dort unmöglich einfach a und b als Grenzen einzusetzen, welche man dann gegen [mm] \infty [/mm] bzw. [mm] -\infty [/mm] laufen lässt.
Gibt es nichts numerisches, was man anwenden könnte ... ?
Ich hab schon ein wenig gelesen, dass man e- Funktionen auch numerisch mit Summen darstellt; lässt sich damit nicht irgendwas machen?
Nochmals vielen Dank für deine Antwort; es ist auch meiner Meinung nach auch "die beste Methode", weil sie wirklich schlüssig ist und keine Fragen offen lässt, aber ich habe halt Bedenken, ob man das binnen kurzer Zeit wirklich gut hinbekommt....
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 So 11.05.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, die e-Funktion kann man als unendliche Reihe darstellen:
[mm] $e^x=\sum [/mm] _{k=0} ^ [mm] {\infty} \frac{x^k}{k!}$
[/mm]
Ich glaube aber, dass die meisten Leute mit einer solchen Darstellung groessere Probleme haben. Selbst wenn man dann diese Summe integriert (da kommen dann Fragen wie: Darf man das ueberhaupt, jeden Summanden einzeln integrieren??) Und dann minus und plus Unendlich einsetzt ist es noch schlechter, die Begrenztheit zu zeigen. Von daher wuerde ich dir persoenlich zu der schon gefundenen Methode raten.
LG
Kroni
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