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| Aufgabe | y = [mm] \wurzel{ax} [/mm] - x
ist der prinzipielle Verlauf der Funktion.
Berechnen Sie den Inhalt der grau unterlegten Fläche und das Volumen des Rotationskörpers, der bei Rotationen des entsprechenden Kurvenstücks um die x-Achse entsteht |
also Nullstelle bestimmen ist mir soweit klar, das problem kommt später:
0 = [mm] \wurzel{ax} [/mm] - x
[mm] x^{2} [/mm] = ax
x = a
folgendes hab ich dann im Papula nachgeschlagen (ist auch erlaubt in der klausur)
A [mm] =\integral_{0}^{a}{f(\wurzel{ax}-x) dx} [/mm] = [mm] [\bruch{2}{3a}\wurzel{(ax)^{3}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x^{2}]^{a}_{0}
[/mm]
A [mm] =\bruch{2}{3a}\wurzel{(a^{2})^{3}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}a^{2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3a} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}a^{2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}a^{2}-\bruch{1}{2}a^{2} \bruch{1}{6}a^{2}
[/mm]
So, das Problem kommt jetzt:
Woher weiß ich welches Volmen ich jetzt nehmen soll? ich erkenne daraus keinen geometrischen Körper. Ein Dönerspieß vielleicht. Da würd ich mit mir reden lassen. Ich habe nur eine ähnliche Aufgabe gesehen, die war mit einem Zylindervolumen. Damit ich jetzt nicht völlig euch das rechnen überlasse, hab ich es wenigstens mit der Zylindervolumenformel vorgerechnet.
Zylindervolumen V = [mm] \pi*r^{2}*h
[/mm]
Volumenelement dV = [mm] \pi*y²*dx
[/mm]
V = [mm] \pi \integral_{0}^{a}{f(y^{2}) dx} [/mm] = [mm] \pi \integral_{0}^{a}{f((\wurzel{ax}-x)^{2}) dx}
[/mm]
V = [mm] \pi \integral_{0}^{a}{f(ax-2x\wurzel{ax}+x^{2}) dx}
[/mm]
V = [mm] \pi [/mm] [a - [mm] 2\wurzel{ax} -\bruch{1}{2}2x(ax)^{-1}{2}+2x]^{a}_{0}
[/mm]
V = [mm] \pi[a [/mm] - [mm] 2\wurzel{ax} [/mm] - [mm] \bruch{x}{\wurzel{ax}} [/mm] + [mm] 2x]^{a}_{0}
[/mm]
V = [mm] \pi[a-2a-1+2a]-\pi[a]
[/mm]
V = [mm] \pi*a -\pi [/mm] - [mm] \pi*a [/mm] = [mm] -\pi
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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tut mir leid wegen dem f: ich komme einfach noch nicht so mit der eingabe hier klar. manchmal ersetze ich nur f("x") und manchmal das "f(x)" durch meine formel. hab jetzt verstanden, dass ich das f auch wegmachen muss.
also ja, deswegen kommt auch so ein murx am ende heraus. ich werds gleich nochmal integrieren statt abzuleiten.
die frage bleibt trotzdem: ist das jetzt der richtige ansatz mit dem zylindervolumen zu rechnen und woher weiß ich, welches volumen ich nehmen muss?
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Hallo nochmal,
> tut mir leid wegen dem f: ich komme einfach noch nicht so
> mit der eingabe hier klar. manchmal ersetze ich nur f("x")
> und manchmal das "f(x)" durch meine formel. hab jetzt
> verstanden, dass ich das f auch wegmachen muss.
ok
>
> also ja, deswegen kommt auch so ein murx am ende heraus.
> ich werds gleich nochmal integrieren statt abzuleiten.
Gut!
>
> die frage bleibt trotzdem: ist das jetzt der richtige
> ansatz mit dem zylindervolumen zu rechnen und woher weiß
> ich, welches volumen ich nehmen muss?
Wieso willst du denn eine der Formel da nehmen?
Woher weißt du, dass der Rotationskörper ein Zylinder ist?
Welche Höhe hat er? Welchen Radius?
Nimm die Integralformel, die ich dir hingeschrieben habe, die ist für das Volumen eines Rotationskörpers, der bei Rotation einer Funktion um die x-Achse entsteht. Also genau zur Aufgabe passend.
Diese Formel lernt man doch in der Schule - soweit ich mich erinnern kann ... ?!
Gruß
schachuzipus
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habs falsch verstanden, ok also die formel war richtig. dann hab ich es jetzt nochmal gerechnet:
also, das mit dem [mm] \bruch{2}{3}a [/mm] usw waren tippfehler. also hier auf dem blatt hatte ich letztendlich dann auch [mm] \bruch{1}{6}a^{2} [/mm] heraus. ich werd demnächst immer nochmal alles in der vorschau kontrollieren
V = [mm] \pi \integral_{0}^{a}{f(y^{2}) dx} [/mm] = [mm] \pi \integral_{0}^{a}{f((\wurzel{ax}-x)^{2}) dx}
[/mm]
V = [mm] \pi \integral_{0}^{a}{(ax-2x\wurzel{ax}+x^{2}) dx}
[/mm]
also ich habe gerade irgendwie probleme mit der partiellen integration des terms [mm] 2x\wurzel{ax} [/mm] , das hab ich auch schon in einer anderen aufgabe gemerkt.
die formel lautet ja f(x)dx = uv - [mm] \integral{vu' dx}
[/mm]
hätte es dann also so integriert:
u = 2x
u' = 2
v = [mm] \wurzel{ax}
[/mm]
v' = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{ax}}
[/mm]
soweit oder?
= [mm] 2x\wurzel{ax} [/mm] - [mm] \integral{ \bruch{1}{2\wurzel{ax}}*2 dx}
[/mm]
= [mm] 2x\wurzel{ax} [/mm] - [mm] \integral{ \bruch{1}{\wurzel{ax}}}
[/mm]
[mm] =2x\wurzel{ax} [/mm] - [mm] 2\wurzel{ax}
[/mm]
normalerweise müsste ich ja beim ableiten wieder auf [mm] 2x\wurzel{ax} [/mm] kommen. nur versteh ich nicht wie ich wieder darauf kommen soll, wenn ich es schon unverändert am anfang der formel so stehen hab - minus etwas zusätzlichem? oder versteh ich die formel aus meiner formelsammlung irgendwie falsch?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Di 25.09.2012 | | Autor: | Cellschock |
tut mir leid, die mitteilung sollte ne weitere frage sein
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Hallo Cellschock,
> habs falsch verstanden, ok also die formel war richtig.
> dann hab ich es jetzt nochmal gerechnet:
>
> also, das mit dem [mm]\bruch{2}{3}a[/mm] usw waren tippfehler. also
> hier auf dem blatt hatte ich letztendlich dann auch
> [mm]\bruch{1}{6}a^{2}[/mm] heraus. ich werd demnächst immer nochmal
> alles in der vorschau kontrollieren
>
>
> V = [mm]\pi \integral_{0}^{a}{f(y^{2}) dx}[/mm] = [mm]\pi \integral_{0}^{a}{f((\wurzel{ax}-x)^{2}) dx}[/mm]
>
> V = [mm]\pi \integral_{0}^{a}{(ax-2x\wurzel{ax}+x^{2}) dx}[/mm]
>
> also ich habe gerade irgendwie probleme mit der partiellen
> integration des terms [mm]2x\wurzel{ax}[/mm] , das hab ich auch
> schon in einer anderen aufgabe gemerkt.
>
Hier brauchst Du keine partielle Integration, denn
[mm]2x*\wurzel{ax}=2\wurzel{a*x^{3}}=2\wurzel{a}*x^{3/2}[/mm]
> die formel lautet ja f(x)dx = uv - [mm]\integral{vu' dx}[/mm]
>
> hätte es dann also so integriert:
> u = 2x
> u' = 2
> v = [mm]\wurzel{ax}[/mm]
> v' = [mm]\bruch{ax*\wurzel{ax}}{2}[/mm]
>
v' ist nicht richtig.
> soweit oder?
>
> = [mm]2x\wurzel{ax}[/mm] - [mm]\integral{\wurzel{ax}*2 dx}[/mm]
>
>
> = [mm]2x\wurzel{ax}[/mm] - [mm]2*\integral{\wurzel{ax}}[/mm]
>
> [mm]=2x\wurzel{ax}[/mm] - [mm]2*\wurzel{a}\integral{\wurzel{x}}[/mm]
>
> [mm]=2x\wurzel{ax}[/mm] -
> [mm]2*\wurzel{a}*\bruch{1}{2}x^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
>
> [mm]=2x\wurzel{ax}[/mm] - [mm]\bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> normalerweise müsste ich ja beim ableiten wieder auf
> [mm]2x\wurzel{ax}[/mm] kommen. nur versteh ich nicht wie ich wieder
> darauf kommen soll, wenn ich es schon unverändert am
> anfang der formel so stehen hab - minus etwas
> zusätzlichem? oder versteh ich die formel aus meiner
> formelsammlung irgendwie falsch?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Di 25.09.2012 | | Autor: | Cellschock |
ok, habs währenddessen verbessert. aber egal, also ist ja eh unnötig wie festgestellt.
so dann wäre die ableitung von [mm] 2\wurzel{a}*x^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
ja [mm] \bruch{4}{5}\wurzel{a}*x^{\bruch{5}{2}}
[/mm]
oder?
was mit a eingesetzt und gekürzt dann [mm] \bruch{4}{5}a^{3} [/mm] ergeben würde richtig?
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Hallo Cellschock,
> ok, habs währenddessen verbessert. aber egal, also ist ja
> eh unnötig wie festgestellt.
>
> so dann wäre die ableitung von
> [mm]2\wurzel{a}*x^{\bruch{3}{2}}[/mm]
> ja [mm]\bruch{4}{5}\wurzel{a}*x^{\bruch{5}{2}}[/mm]
>
Hier meinst Du wohl eher die Stammfunktion.
> oder?
>
> was mit a eingesetzt und gekürzt dann [mm]\bruch{4}{5}a^{3}[/mm]
> ergeben würde richtig?
Ja.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Di 25.09.2012 | | Autor: | Cellschock |
achja oh mann, ich glaube ich hör mal mit lernen auf heute :D
danke dir
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Di 25.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.hast du das Flächenintegral berichtigz?
2. dir wurde doch gesagt, dass deine formel für das Rotationsvolumen (kein Zylinder) richtig ist. liest du posts so flüchtig?
Gruss leduart
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