Flächeninhalt von Mengen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Fr 13.07.2007 | | Autor: | myo |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Flächeninhalt bzw. das Volumen der folgenden
Mengen:
(a) [mm]M =[/mm] [mm] \{{(x, y, z)}^t \in \IR^3; 0 \le x, y \le 1, 0 \le z \le x^2 + y^2\}
[/mm]
(b) [mm]M = \{{(x, y, z)}^t \in \IR^3; x^2 + y^2 \le 4, 0 \le z \le \wurzel{x^2 + y^2}\}[/mm]
(c) [mm]M = \{{(x, y)}^t \in \IR^2; y \ge x^2, y \ge {2 - x}, y \le 9\}[/mm] |
Hi,
Hier muss man ja mehrdimensional Integrieren, und das ist soweit eigentlich auch klar. Aber ich komme hier irgendwie nicht so ganz mit den Mengen klar oder wie man die "Schranken/Grenzen" der Mengen umformen muss, sodass man auf die Grenzen für die einzelnen Integrale kommt.
Bei der (a) hab ich mal folgendes gemacht:
In [mm]0 \le z \le x^2 + y^2[/mm] hab ich mal x und y "eingesetzt", besser gesagt den Wert den ich von beiden Variablen weiss (das äusserste Integral muss ja Werte als Grenzen und nicht Variablen haben) -> [mm]0 \le z \le 0^2 + 1^2[/mm], also [mm]0 \le z \le 1[/mm]. Also wären die Grenzen für z oder besser gesagt für das erste Integral ja nun 0 und 1
[mm]\integral_{0}^{1}{(...) dz}[/mm]
Dann hab ich die grenzen für y bestimmt. Die obere Schranke ist ja bereits bekannt [mm]y \le 1[/mm] und für die untere Grenze habe ich [mm]z \le x^2 + y^2[/mm] genommen und umgestellt und wieder 0 für x eingesetzt, also [mm]y \ge \wurzel{z}[/mm]. Somit sind die Schranken ja nun [mm]\wurzel{z}[/mm] und 1
[mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{\wurzel{z}}^{1}{(...) dy} dz}[/mm]
Dann das ganze nun noch für x machen, nur ohne einen Wert für y einzusetze in der umgestellten Gleichung -> [mm]-x \le \wurzel{y^2 - z}[/mm], was die obere Schranke des Integrals ist und die untere ist ja bereits bekannt mit [mm]x \ge 0[/mm]
Also würde ja nun das/die fertigen Integrale zum berechnen des Flächeninhalts der Menge so aussehen:
[mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{\wurzel{z}}^{1}{\integral_{0}^{-\wurzel{y^2-z}}{1 dx} dy} dz}[/mm]
Kann man das nun so machen oder stimmt das so? Oder hab ich nun was total falsch verstanden oder falsch gemacht oder könnte man hier vielleicht irgendwie einfacher vorgehen? Ist mir irgendwie noch nicht ganz so klar der Sachverhalt und hab auch schon einiges ausprobiert, aber ohne erfolg.
Zumindest wenn das stimmen sollte und ich das erste Integral berechne und dann die Grenzen einsetze, dann hätte ich beim zweiten Integral berechnen ja nun eine Wurzel, was mich eher ein wenig daran zweifeln lässt, dass das so passen kann.
Würde mich freuen, wenn mir das mal jemand etwas verdeutlichen würde oder ein paar Tipps zu den Aufgaben geben könnte, wie man die denn am besten lösen könnte
Gruß
myo
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum oder auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Fr 13.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstmal c) eifach die Geraden und die Parabel zeichnen, dann siehst du es leicht.
Mit ein bissel Vorstellungskraft kannst du dir auch b vorstellen! ein Kreisin der x-yEbene, darüber ein Zylinder der Höhe 2 und dem fehlt ein "Trichter" also ein Kegel, der im Nullpkt seine Spitze hat. ich würd das ohne integral rechnen, aber wenn hilft dir ne Zeichnung auch!
a) it die komplizierteste Fläche, ein Quadrat in x-y Ebene. aber z geht von 0 bei x=y=0 bis 2 bei x=y=1 also sind deine Grenzen so falsch. die größe von z hängt doch von x und y ab, also musst du z von 0 bis [mm] x^2+y^2 [/mm] integrieren, x un d y dann jeweils von 0 bis 1.
Gruss leduart.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:10 Fr 13.07.2007 | | Autor: | myo |
> x un d y dann jeweils von 0 bis 1
Das ist die Frage, die ich mir bereits auch schon gestellt habe. Gilt das von 0-1 für x und y oder gilt die 0 für das x und die 1 für das y, also zwei getrennte Bedingungen? Das ist irgendwie ein wenig undeutlich in der Aufgabenstellung, da der Übungsblattersteller irgendwie andere Schreibweisen zu verwenden scheint. Normalerweisse würde man das ja so schreiben würde ich sagen [mm]M = \{({(x,y,z)}^t \in \IR^3: Bedingung1; Bedingung2; ...\}[/mm], also die einzelnen Bedingungen getrennt durch Strichpunkt und nicht durch Komma, weil Komma würde meiner Ansicht nach "und" bedeuten, also für x und y (x,y), aber da stehen ja überall Kommas..
Ich muss das schon mit Integralen lösen, weil wir die gerade hatten. Wie würde denn das ganze nun mit Integralen funktionieren, also ohne grafisch und dann eben direkt berechnen oder wie du das meintest?
Gruß
myo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Sa 14.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) das macht nur Sinn wenn man es als0<x<1 und 0<y<1 interpretiert.:
zu b, xvon 0bis 2 y von 0 bis f(x) z=0 bis f(x,y)
c) musst du meiner Meinung nach erst die Schnittpkte bestimmen, zeichnen hilft dann für die Grenzen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Sa 14.07.2007 | | Autor: | myo |
Ja gut, wenn (a) nur mit [mm]0 \le x,y \le 1[/mm] Sinn macht dann ist sie ja einfach. Das sieht dann ja wie folgt aus:
[mm]\integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{1 dx} dy} dz}[/mm] und der Flächeninhalt wäre dann ja 2
zu (b)
Also das [mm]0 \le z \le 2[/mm] ist sehe ich auch und somit ist das erste Integral ja [mm]\integral_{0}^{2}{... dz}[/mm]. Aber wie genau kommst du dann auf die restlichen Grenzen für x und y? Kann ich z.B. für y einfach [mm]x^2 + y^2 \le 4[/mm] nehmen und dann x weglassen, weil ich das jetzt ja noch garnicht brauche, sondern erst im nächsten Integral oder wie? Sonst wäre ja die obere Grenze für y somit 2. Und wie kommt man dann auf die untere Grenze 0? Wegen [mm]y^2[/mm], weil das ja nie kleiner als 0 werden kann?
Für das innerste Integral brauche ich ja dann dann x und y, oder? Also wäre die obere Grenze wegen [mm]x^2 + y^2 \le 4[/mm] dann ja [mm]\wurzel{(4 - y^2)}[/mm] und die untere Grenze dann wieder 0 wegen [mm]x^2[/mm], weil das nicht kleiner 0 werden kann?
Das fertige Ding für den Flächeninhalt würde dann ja so aussehen:
[mm]\integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{\wurzel{(4-y^2)}}{1 dx} dy} dz}[/mm]
Passt das dann so, oder sind meine Überlegungen zutreffend die ich gemacht habe? Irgendwie ist mir das nämlich noch immer nicht so ganz klar wie man die Bedingungen dann zerlegt wenn sie von mehreren Sachen abhängen und man nicht jede Variable einzeln gegeben hat mit Grenzen, oder die Grenzen für jede durch einsetzen der anderen Variablen erhält.
zu (c)
Die Aufgabe habe ich nun mal gezeichnet und mir die Schnittpunkte angesehen.
Die Schnittpunkte von [mm]x^2[/mm] und [mm]2 - x[/mm] liegen bei [mm](-2,4), (1,1)[/mm]
Die Schnittpunkte von [mm]x^2[/mm] und [mm]y = 9[/mm] liegen bei [mm](-3,9), (3,9)[/mm]
Also wären die Grenzen für [mm]y = 1, y = 9[/mm] und für [mm]x = -3, x = 3[/mm], oder? Weil die Punkte iegen ja innerhalb der Werte für x und y eingeschlossen in den Funktionen, oder ganz falsch?
Kann man das nicht auch irgendwie mit Hilfe der Bedingungen der mengen herausbekommen, durch umformen oder so?
Gruß
myo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 So 15.07.2007 | | Autor: | myo |
Kann mir keiner mehr vielleicht noch einen Tipp zu den Aufgaben geben? Weiss irgendwie noch immer nicht so recht weiter, oder passt das nun so wie ich mir das überlegt habe aus dem vorherigen Beitrag?
Gruß
myo
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> zu (b)
> Also das [mm]0 \le z \le 2[/mm] ist sehe ich auch und somit ist das
> erste Integral ja [mm]\integral_{0}^{2}{... dz}[/mm]. Aber wie genau
> kommst du dann auf die restlichen Grenzen für x und y? Kann
> ich z.B. für y einfach [mm]x^2 + y^2 \le 4[/mm] nehmen und dann x
> weglassen, weil ich das jetzt ja noch garnicht brauche,
> sondern erst im nächsten Integral oder wie? Sonst wäre ja
> die obere Grenze für y somit 2. Und wie kommt man dann auf
> die untere Grenze 0? Wegen [mm]y^2[/mm], weil das ja nie kleiner als
> 0 werden kann?
> Für das innerste Integral brauche ich ja dann dann x und
> y, oder? Also wäre die obere Grenze wegen [mm]x^2 + y^2 \le 4[/mm]
> dann ja [mm]\wurzel{(4 - y^2)}[/mm] und die untere Grenze dann
> wieder 0 wegen [mm]x^2[/mm], weil das nicht kleiner 0 werden kann?
> Das fertige Ding für den Flächeninhalt würde dann ja so
> aussehen:
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{\wurzel{(4-y^2)}}{1 dx} dy} dz}[/mm]
>
> Passt das dann so, oder sind meine Überlegungen zutreffend
> die ich gemacht habe?
Selbst auf die Gefahr hin, nun mit einem Pfusch Verwirrung zu stiften, schreibe ich mal, wie ich versuchen würde, diese Teilaufgabe zu lösen. Im Prinzip könnte man m.E. folgendes machen:
[mm]\int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{+\sqrt{4-x^2}}\int_0^{\sqrt{x^2+y^2}}\;dz\;dy\;dx[/mm]
Die Integrationsgrenzen erhalte ich aufgrund folgender Überlegungen: es ist klar, dass $x$ nur zwischen $-2$ und $+2$ variieren kann (wegen der Bedingung [mm] $x^2+y^2\leq [/mm] 4$): ergibt die Grenzen des äusseren Integrals. Ist $x$ gewählt, dann kann $y$ aufgrund derselben Bedingung [mm] $x^2+y^2\leq [/mm] 4$ nur zwischen [mm] $-\sqrt{4-x^2}$ [/mm] und [mm] $+\sqrt{4-x^2}$ [/mm] variieren: ergibt die Grenzen des mittleren Integrals. Sind $x$ und $y$ festgelegt, dann kann $z$ nur noch zwischen $0$ und [mm] $\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] variieren: ergibt die Grenzen des inneren Integrals.
Aber die Berechnung dieses mehrfachen Integrals könnte mühsam werden. Besser wäre schleunigster Übergang zu Zylinderkoordinaten [mm] $x:=r\cos(\varphi)$, $y:=r\sin(\varphi)$ [/mm] und $z:= z$. Das Flächenelement in der Ebene [mm] $dy\;dx$ [/mm] wird in diesem Falle durch das Flächenelement [mm] $r\;d\varphi\;dr$ [/mm] ersetzt. Dann hätte man das weit einfacher zu berechnende mehrfache Integral
[mm]\int_0^2\int_0^{2\pi}\int_0^r \;dz\; \red{r}\;d\varphi\;dr[/mm]
Du siehst: die Integrationsgrenzen sind nun wunderbar harmlos geworden. Entsprechend relativ leichter dürfte die Berechnung dieses mehrfachen Integrals sein.
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> zu (c)
> Die Aufgabe habe ich nun mal gezeichnet und mir die
> Schnittpunkte angesehen.
Hier meine Zeichnung zu dieser Aufgabe (rot ausgefüllt die Fläche, deren Inhalt $A$ bestimmt werden soll):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Daraus sind die Grenzen für die Integrale leicht ablesbar:
[mm]A = \int_{-3}^{-2}\Big(9-x^2\Big)\;dx+\int_{-2}^1 \Big(9-(2-x)\Big)\;dx+\int_1^3\Big(9-x^2\Big)\;dx[/mm]
> Die Schnittpunkte von [mm]x^2[/mm] und [mm]2 - x[/mm] liegen bei [mm](-2,4), (1,1)[/mm]
>
> Die Schnittpunkte von [mm]x^2[/mm] und [mm]y = 9[/mm] liegen bei [mm](-3,9), (3,9)[/mm]
>
> Also wären die Grenzen für [mm]y = 1, y = 9[/mm] und für [mm]x = -3, x = 3[/mm],
> oder? Weil die Punkte iegen ja innerhalb der Werte für x
> und y eingeschlossen in den Funktionen, oder ganz falsch?
> Kann man das nicht auch irgendwie mit Hilfe der
> Bedingungen der mengen herausbekommen, durch umformen oder
> so?
Du kannst doch in Deiner Skizze für jede der drei Teilbedingungen ein Gebiet im [mm] $\IR^2$ [/mm] als Lösungsmenge der betreffenden Bedingung einzeichnen. Alle drei Bedingungen werden durch diejenigen Punkte erfüllt, die im Durchschnitt der drei Lösungsmengen liegen. Falls ich also keinen Müll gebaut habe (leider nie ganz auszuschliessen  ), dann müsste dieser Durchschnitt aussehen wie die rot ausgefüllte Fläche in der obigen Skizze.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: Png) [nicht öffentlich]
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> Ja gut, wenn (a) nur mit [mm]0 \le x,y \le 1[/mm] Sinn macht dann
> ist sie ja einfach. Das sieht dann ja wie folgt aus:
> [mm]\integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{1 dx} dy} dz}[/mm]
> und der Flächeninhalt wäre dann ja 2
Nein, das sehe ich nicht so. Du hast die obere Grenze für $z$ ganz unabhängig von $x$ und $y$ gewählt, obwohl Du ja weisst, dass [mm] $0\leq z\leq x^2+y^2$ [/mm] gelten muss. Meines Erachtens wäre folgendes richtig(er):
[mm]\int_0^1\int_0^1\int_0^{x^2+y^2} 1\;dz \; dy\; dx[/mm]
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