Flächenintegral im R^3 < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Mo 27.01.2014 | | Autor: | OneTwo7 |
| Aufgabe | Gegeben sein der Torus
T = { (x,y,z) [mm] \in R^{3} [/mm] | [mm] (\wurzel{x^{2} + y^{2}} [/mm] - [mm] R)^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] = [mm] r^{2} [/mm] }
mit R > r > 0 und mit Parametrisierung:
[mm] \overrightarrow{g}: [0,2\pi]^{2} \to R^{3}, (\beta,\alpha) \mapsto \vektor{R cos(\beta) \\ R sin(\beta) \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{rcos(\beta)cos(\alpha) \\ r sin(\beta) cos(\alpha) \\ r sin(\alpha)}
[/mm]
(i) Skizzieren sie die Menge T.
(ii) Bestimmen sie die Oberfläche von T |
Leider stehe ich etwas auf dem Schlauch.
Ich weiß, dass wenn ich r konstant halte und dann integriere ich an die Fläche des Torus kommen müssten, weiß leider nicht welches Integral ich integrieren soll. Ist das jetzt ein Flächenintegral über ein Vektorfeld? Ich habe da leider nur eine Formel zu Flußintegralen [mm] \integral_{}^{}{\integral_{F}^{}{\vec{v} d\vec{o}}} [/mm] = [mm] \integral_{u_{1}}^{u_{2}}{\integral_{v_{1}}^{v_{2}}{det(\vec{v}(f(u,v)),\bruch{\partial f}{\partial u},\bruch{\partial f}{\partial v}) dv}du}
[/mm]
Wäre das immernoch richtig? Kann ich meine Koordinatentransformation einfach so vornehmen? (Da nutzung von Kugelkoordinaten) Ersetze ich also einfach v mit [mm] \beta [/mm] und u mit [mm] \alpha [/mm] und lasse beide von 0 bis 2 Pi laufen?
Über einen Hinweis auf den Lösungsweg würde ich mich freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Um die Oberfläche zu bestimmen, berechnest du die partiellen Ableitungen: [mm]\vec{g}_{\beta} = \frac{\partial \vec{g}}{\partial \beta} \, , \ \ \vec{g}_{\alpha} = \frac{\partial \vec{g}}{\partial \alpha}[/mm]
Diese Ableitungen bildest du koordinatenweise, [mm]\vec{g}_{\beta}[/mm] und [mm]\vec{g}_{\alpha}[/mm] sind also wieder Vektoren.
Daraus bestimmst du das Vektorprodukt [mm]\vec{g}_{\beta} \times \vec{g}_{\alpha}[/mm], also wieder einen Vektor. Dessen euklidische Länge
[mm]f(\beta,\alpha) = \left| \vec{g}_{\beta} \times \vec{g}_{\alpha} \right|[/mm]
ist der Integrand für dein Integral:
[mm]A = \int \limits_{[0,2 \pi]^2} f(\beta,\alpha) ~ \mathrm{d} (\beta,\alpha)[/mm]
ist der gesuchte Oberflächeninhalt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Mo 27.01.2014 | | Autor: | OneTwo7 |
Die Formel hatte ich mir sogar selber aufgeschrieben unter "Skalares Flächenintegral". Kannst du mir erklären wieso das ein skalares und kein vektorielles Flächenintegral ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Mo 27.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein Flächeninhalt ist doch ein Skalar.
Gruß leduart
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