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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Do 28.04.2011 | | Autor: | Black90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die DGL u'(t)=A(t) [mm] \cdot [/mm] u(t) , [mm] A(t):=\begin{pmatrix} cos(t) & 1 \\ 0 & cos(t) \end{pmatrix} [/mm]
Außerdem ist [mm] F(t):=\begin{pmatrix} exp(sin(t)) & t \cdot exp(sin(t)) \\ 0 & exp(sin(t)) \end{pmatrix} [/mm] Fundamentallösung von u'(t)=A(t)u(t) mit [mm] u(0)=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} [/mm]
Die Aufgabe lautet: Bestimme die Monodromie M von F(t) und eine Matrix B so dass exp(B)=M
Als Tipp heißt es dass B eine Matrix in Jordannormalform sein soll. |
Hallo zusammen,
also M berechnet sich zu [mm] M=\begin{pmatrix} 1 & 2 \Pi \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] da M=F(2 [mm] \Pi)
[/mm]
Der Eigenwert von M ist 1, dann muss der Eigenwert von B ln(1)=0 sein.
Wenn also B in Jordannormalform ist, dann müsste [mm] B=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0&0\end{pmatrix} [/mm] sein.
Aber dann ist [mm] exp(B)=\begin{pmatrix} 1 & 1\\0 & 1\end{pmatrix} \neq [/mm] M
Wo ist der Fehler?
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Hallo Black90,
> Gegeben ist die DGL u'(t)=A(t) [mm]\cdot[/mm] u(t) ,
> [mm]A(t):=\begin{pmatrix} cos(t) & 1 \\ 0 & cos(t) \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Außerdem ist [mm]F(t):=\begin{pmatrix} exp(sin(t)) & t \cdot exp(sin(t)) \\ 0 & exp(sin(t)) \end{pmatrix}[/mm]
> Fundamentallösung von u'(t)=A(t)u(t) mit
> [mm]u(0)=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Die Aufgabe lautet: Bestimme die Monodromie M von F(t) und
> eine Matrix B so dass exp(B)=M
>
> Als Tipp heißt es dass B eine Matrix in Jordannormalform
> sein soll.
Ich kann mir unter dem Begriff "Monodromie" nichts vorstellen.
>
> Hallo zusammen,
> also M berechnet sich zu [mm]M=\begin{pmatrix} 1 & 2 \Pi \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
> da M=F(2 [mm]\Pi)[/mm]
>
> Der Eigenwert von M ist 1, dann muss der Eigenwert von B
> ln(1)=0 sein.
>
> Wenn also B in Jordannormalform ist, dann müsste
> [mm]B=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0&0\end{pmatrix}[/mm] sein.
>
> Aber dann ist [mm]exp(B)=\begin{pmatrix} 1 & 1\\0 & 1\end{pmatrix} \neq[/mm]
> M
>
> Wo ist der Fehler?
Der Fehler liegt hier:
[mm]B=\begin{pmatrix} 0 & \red{1}\\0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
Berechne doch mal [mm]\operatorname{exp}\left(B\right)[/mm]:
[mm]\operatorname{exp}\left(B\right)=B^{0}+B^{1}+\bruch{B^{2}}{2}+ \ ...[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Do 28.04.2011 | | Autor: | Black90 |
Danke für deine Antwort.
Ja dass die 1 da stört hab ich auch gemerkt, aber wenn B in Jordannormalform sein soll, dann stehen doch auf der Hauptdiagonale die Eigenwerte (also 0) und rechts davon eine 1 also müsste [mm] B=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0&0\end{pmatrix} [/mm] sein.
Da das aber offensichtlich nicht hinkommt war der Tipp also falsch und B ist nicht in Jordannormalform.
Durch Nachdenken bin ich jetzt darauf gekommen dass [mm] B=\begin{pmatrix} 0 & 2\Pi\\ 0&0\end{pmatrix} [/mm] sein muss, gibt es auch eine Möglichkeit wie man sowas formal berechnen kann?
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Hallo Black90,
> Danke für deine Antwort.
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> Ja dass die 1 da stört hab ich auch gemerkt, aber wenn B
> in Jordannormalform sein soll, dann stehen doch auf der
> Hauptdiagonale die Eigenwerte (also 0) und rechts davon
> eine 1 also müsste [mm]B=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0&0\end{pmatrix}[/mm]
> sein.
>
> Da das aber offensichtlich nicht hinkommt war der Tipp also
> falsch und B ist nicht in Jordannormalform.
>
Betrachte [mm] M=F\left(0\right).
[/mm]
>
> Durch Nachdenken bin ich jetzt darauf gekommen dass
> [mm]B=\begin{pmatrix} 0 & 2\Pi\\ 0&0\end{pmatrix}[/mm] sein muss,
> gibt es auch eine Möglichkeit wie man sowas formal
> berechnen kann?
Nun berechne sämtliche Potenzen von B.
Dann stelltst Du fest, daß [mm]B^{n}=\pmat{0 & 0 \\ 0 & 0}, \ n \ge 2, \ n \in \IN[/mm]
Somit ergibt sich:
[mm]M=exp\left(B\right)=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}+B[/mm]
Daraus folgt dann die Matrix B.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 Do 28.04.2011 | | Autor: | Black90 |
Vielen Dank für Deine Hilfe MathePower.
Gruß Black
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