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| Aufgabe | | http://s7.directupload.net/images/120422/hlbggmcu.jpg |
Hallo ,
die Aufgabe ist , wie immer , hier :
http://s7.directupload.net/images/120422/hlbggmcu.jpg
Ich habe a und b schon gemacht , und hoffe , dass das richtig ist :
Ich habe für die Parabelgleichung , f(x) = [mm] \bruch{3}{4} x^{2}
[/mm]
Einfach mit der Additionsmethode gelöst.
Für das Volumen habe ich rund 15 Volumeneinheiten(?) raus.
V = [mm] \pi \integral_{a}^{b}{(f(x))^{2} dx}
[/mm]
V = [mm] \pi \integral_{-2}^{2}{(\bruch{3}{4}x^{2})^{2} dx}
[/mm]
Stammfunktion lautet : F(x) = [mm] \bruch{9}{80}x^{5}
[/mm]
-2 und 2 als Integrationsgrenzen eingesetzt , ergibt rund 15.
Ist das richtig ?
Und jetzt kommen wir eigentlich zu der richtigen Frage :
Wie gehe ich bei c vor ?
Muss ich den Hochpunkt errechnen ?
Danke schonmal im Voraus.
PS: Ich hoffe , meine andere Frage , die leider noch offen ist , wird auch noch beantwortet :D
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Ich würde mithilfe der Integralrechnung den Flächeninhalt unter der Parabel berechnen. Dann hast du eine Gesamtfläche. Die geometrie gibt für die Berechnung von rechteckigen Flächen A = a*b
A ist hier deine Gesamtfläche. a bzw. b hast du gegeben, das ist die breite des gefäßes. Dann hast du Fläche = 4*b. Das b gibt die höhe an ;) Funktioniert aber nur wenn man die kleinen Zipfel links und rechts vernachlässigt.
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Ist das jetzt auf c bezogen ?
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Ja, das war ja die eigentliche Frage ;) a und b habe ich nicht geprüft.
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Also reicht es einfach , wenn ich das hier mache :
[mm] \integral_{-2}^{2}{(\bruch{4}{3}x^{2}) dx} [/mm] ?
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NE, aber ist ganz einfach. Das was du gerade vorgeschlagen hast gibt als Ergebnis die gesamte Fläche in dem Glas. Stell es dir zweidimensional vor.
Das Ergebnis musst du noch in die Formel zur berechnung von Rechtecken einsetzen: A = a*b
A = die gesamte Fläche unter der Parabel
a = Die breite des Gefäßes, also 4, da es ja auf dem Graphen von -2 bis 2 geht.
Dann hast du eine Gleichung mit einer Variablen für die es nur eine Lösung gibt.
Mit Fläche = a * b meine ich:
Fläche = breite * höhe und die höhe ist ja gesucht.
Wenn dein Integral jetzt 20 wäre, dann hättest du:
20 = 4 * b
=> b = 5
Und das Wasser würde auf der höhe 5 stehen.
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Irgendwie bin ich verunsichert , du hast ja nein gesagt , aber danach sagst du , wenn dein INTEGRAL so und so wäre.
Warum kann ich einfach nicht die Fläche mit dem Integral berechnen ? Das ist doch dann die Flüssigkeit im Glas, wo ist da der Fehler ?
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Ja, das ist ja genau richtig. Ich wollte ausdrücken das du dann noch nicht fertig bist. Deine Vorletzte Frage hörte sich an als ob du davon ausgehen würdest das das Integral schon die Höhe wäre.
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Was soll ich mit der Höhe , ich muss doch einfach nur die Fläche unter der Parabel berechnen.
Wozu brauche ich da diese Höhe ?
Ich kann doch wohl die Fläche ohne den Ansatz A = a*b ausrechnen , dafür kann ich doch integrieren , oder nicht ?
Verstehe den Zusammenhang mit A = a*b nicht , wenn ich die Integralrechnung anwenden kann.
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Jetzt habe ich dein Verständnisproblem verstanden.
Der Ansatz A = a * b bezieht sich nicht auf die Flächenberechnung. Stell dir jetzt erst einmal vor wie das Wasser in dem Glas aussehen würde, wenn es nicht rotiert. Dann ist die Wasserhöhe ja überall gleichhoch. Also in deinem Glas wäre zweidimensional gesehen das Wasser eine rechteckige Fläche. Von dieser Fläche weißt du ja nun durch die Integralrechnung wie groß sie ist. Die breite kannst du ja ablesen.
Die Formel Fläche = breite * höhe dient dir einzig und allein zur bestimmung der Höhe der rechteckigen Fläche. Du musst den Wert für die höhe bestimmen, denn dieser gibt an auf welchem Level sich dein Wasser befindet wenn es ruht. Wenns jetzt nicht klappt mach ich nen Bild xD
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Ja , mach bitte ein Bild , ich kapiere das Ding nicht :(
Ich habe mir auch schon eine Skizze gemacht , komme aber auch nicht klar :(
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Ich versuche mich mal an einer Zeichnung in der Zeit machst du genau folgendes:
1. Bestimmen der Fläche unterhalb der Parabel, dazu verschiebst du die Parabel um 1 nach oben, somit liegt das ganze gefäß über der X-Achse und es ist einfacher zu Integrieren.
Also:
[mm] z(x)=3/4x^2+1
[/mm]
2. Du berechnest nun die Fläche unter der Parabel. Also das Integral von z(x) im Intervall [-2;2]
3. Du setzt das Ergebnis aus der Integralrechnung in die Formel zur berechnung einer rechteckigen Fläche ein. Zudem setzt du noch für die breite 4 ein.
Ergebnis = 4 * höhe.
5. Du löst die Gleichung nach der Höhe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 So 22.04.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Achsoo , jetzt habe ich es verstanden , wie das mit dem Integral im Zusammenhang aussieht :D
Mach dir keine Mühe , zeichne nicht , habs schon kapiert , dein Text hat mich weitergebracht jetzt.
Vielen vielen Dank :D
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 So 22.04.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Doch es handelt sich um ein rotierendes Glas. Nimmt man das Volumen von [mm] V=\bruch{16}{3}\pi [/mm] und teilt das durch die Grundfläche, so erhält man die Füllhöhe ohne das Gedrehe.
Ich habe mal nachegerechnet, wenn man das über das Rechteck ausrechnet, und da komme ich auf etwas anderes...
Über das Rechteck: A= 8 FE, also wäre es eine Höhe von 2 LE
Über das Volumen: [mm] V=\bruch{16}{3}\pi, [/mm] mit [mm] A_G=r^2\pi, [/mm] so erhält man [mm] h=\bruch{4}{3}
[/mm]
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Nunja, jetzt bin ich fertig :D Vielleicht hilft es weiteren interessierten^^
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 So 22.04.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , vielen Dank für dein Bild.
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Die Parabel lautet:
y = 3/4 * [mm] x^2
[/mm]
Die Umkehrfunktion lautet:
y = 2 * √(x/3)
Daraus machen wir jetzt ein Rotationsintegral in den Grenzen von 0 bis 3.
∫0 bis 3 (pi * (2 * [mm] √(x/3))^2) [/mm] dx = 6 * pi
Nun Zylindervolumen minus Luftvolumen
V = [mm] (2^2 [/mm] * pi * 4) - (6 * pi) = 10 * pi
Flüssigkeitshöhe
h = V / G = 10 pi / [mm] (2^2 [/mm] * pi) = 2,5
Die Flüssigkeit steht demnach mit zur y = 1,5 Marke.
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