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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Von einem Flughafen startet ein Flugzeug. Zum Zeitpunkt t=0 befindet sich in Punkt O(0;0;0) und fligt mit der Geschwindigkeit von 300 km/h in Richtung [mm] \overrightarrow{r}=\vektor{2 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
Zum gleichen Zeitpunkt ortet der Tower des Flughafens eine weitere Maschine im Punkt P(-20;-15;10), die mit der Geschwindigkeit 900 km/h in Richtung [mm] \overrightarrow{r}=\vektor{8 \\ -4 \\ -1} [/mm] fliegt.
Beide Flugrouten sind in einem Beobachtungszeitraum von 3 min (0,05h) linear, die Geschwindigkeit konstant, die Koordinatenangaben in km.
Überprüfen Sie, ob ein Sicherheitsabstand von mindestens 20 km eingehalten wird. Bestimmen Sie dazu eine Abstandsfunktion d(t) der beiden Flugzeuge im Beobachtungszeitraum. Bestimmen Sie die Positionen der Flugzeuge zum Zeitpunkt [mm] \t_{min} [/mm] zu dem die kürzeste Entfernung d-min erreicht wird.
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Ich habe zu der Aufgabe eine Lösung:
Es gilt:
Flugzeug 1: [mm] g1:\overrightarrow{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+t\vektor{2 \\ -2 \\ 1}*300
[/mm]
Flugzeug 2: [mm] g2:\overrightarrow{x}=\vektor{-20 \\ -15 \\ 10}+t\vektor{8 \\ -4 \\ -1}*900
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{r}|=\wurzel{9}=3
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{k}|=\wurzel{81}=9
[/mm]
[mm] g1(t)=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+t\vektor{2 \\ -2 \\ 1}*100
[/mm]
[mm] g2(t)=\vektor{-20 \\ -15 \\ 10}+t\vektor{8 \\ -4 \\ -1}*100
[/mm]
g1(t) und g2(t) sind die beiden Flugbahnen
[mm] d(t)=|\overrightarrow{g2}(t)-\overrightarrow{g1}(t)|
[/mm]
[mm] =\wurzel{(-20+600t)²+(-15-200t)²+(10-200t)²}
[/mm]
Meine Frage ist, wie kommt man auf die "100" bei den Flugbahnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du willst ja hier den Parameter t als Zeit nach Abflug definieren.
t wird hier in Stunden gemessen.
Gucken wir uns hier z.B. mal das erste Flugzeug an.
Es fliegt auf der Geraden [mm] \vec{x}=t*\vektor{2\\-2\\1}
[/mm]
Dieses Flugzeug hat die Geschwindigkeit v=300km/h.
Damit du jetzt für t die Zeit einsetzten kannst, musst du dafür sorgen, dass die Länge des Richtungsvektors bei t=1h 300km ist.
Es muss ja aufgrund der Geschwindigkeit, die das Flugzeug hat, so sein, dass das Flugzeug nach t=1h 300km zurückgelegt hat, und das machst du, indem du den Richtungsvektor entsprechend normierst.
Normieren wir den Richtungsvektor erst auf die Länge "1":
[mm] |\vektor{2\\-2\\1}=\wurzel{4+4+1}=3
[/mm]
Also sieht der normierte Richtungsvektor
[mm] \bruch{1}{3}*\vektor{2\\-2\\1} [/mm] aus.
D.h, wenn du für t=1 einsetzt, so fliegt dein Flugzeug 1km in die Richtung der Geraden.
Da das Flugzeug aber für t=1h genau 300km fliegt, musst du diesen normierten Richtungsvektor mit 300 multiplizieren:
[mm] 300*\bruch{1}{3}*\vektor{2\\-2\\1}=100*\vektor{2\\-2\\1}
[/mm]
Daher kommt dann die 100.
Bei deinem zweiten Flugzeug geht das ganze analog!
Lieben Gruß,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Owen |
"D.h, wenn du für t=1 einsetzt, so fliegt dein Flugzeug 1km in die Richtung der Geraden.". Wieso nur 1 km? Müsste er in dem Falle nicht 3 km fliegen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nimmst du nur den normierten Richtungsvektor, so fliegt dein Flugzeug zunächst für t=1h 1km in Richtung der Geraden.
Da dein Flugzeug aber 300km fliegen soll, musst du den Richtungsvektor noch mit 300 mutliplizieren.
So hast du dann dann dafür gesorgt, dass dein Flugzeug für t=1h 300km in Richtung der Geraden fliegt.
Lg
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Owen |
Achso. ich habs jetzt verstanden, dankeschön
LG
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