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Forum "mathematische Statistik" - Fluktuationen einer Zeitreihe
Fluktuationen einer Zeitreihe < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Fluktuationen einer Zeitreihe: Frage (offen)
Status: (Frage) statuslos Status 
Datum: 11:33 Di 26.05.2020
Autor: Thomas_Aut

Hallo,

ich hoffe euch geht es gut in dieser mühsamen Zeit.

Ich habe letztes Jahr hier:
https://matheraum.de/read?t=1094283

eine Frage bzw. Idee mal geschrieben, aber das hat sich dann irgendwie im Sand verlaufen und ich würde eine Abwandlung davon gerne nochmals aufgreifen.

Das Hodgkin Huxley Modell simuliert Nervenzellen durch einen relativ simplen elektronischen Schaltkreis - die Membranspannung kann durch folgende DGL beschrieben werden


$ C [mm] \frac{dV}{dt} [/mm] = - [mm] \hat{g_{Na}}m^3 [/mm] h [mm] (V-E_{Na})- \hat{g_{K}}n^4 (V-E_K) [/mm] - [mm] G_L (V-E_L) [/mm] +I$

wobei m,h,n beschreiben den Anteil der geöffneten Ionenkanäle (je nach Sorte z.B. Natrium), E sind die Gleichgewichtspotentiale, [mm] $\hat{g}$ [/mm] die maximale Leitfähigkeit und V die Membranspannung. I beschreibt einen (z.B.) extern angelegten Strom.

Nun ist es in der Natur aber so, dass dieses Modell zu deterministisch ist und zufällige Ionenstromschwankungen nicht abbildet - also gibt es mehrere Möglichkeiten diese zu modellieren.. eine davon ist, die obige Gleichung beispielsweise durch einen Gauß-Prozess zu erweitern:

$ C [mm] \frac{dV}{dt} [/mm] = - [mm] \hat{g_{Na}}m^3 [/mm] h [mm] (V-E_{Na})- \hat{g_{K}}n^4 (V-E_K) [/mm] - [mm] G_L (V-E_L) [/mm] +I + [mm] \zeta(t)$ [/mm]

Es ist so, dass die Schwankungen mit der Anzahl der Kanäle zusammenhängen (also ganz simpel gesprochen: mehr noise Quellen, sollten mehr Noise erzeugen) - dazu diese Überlegung:

Ein Ionenkanal kann offen (also durchlässig für bestimmte Ionen sein) oder geschlossen - sagen wir mit Wahrscheinlichkeit $p$ ist er offen und mit Wahrscheinlichkeit $1-p$ ist er geschlossen. Wir nehmen an, dass die Ionenkanäle voneinander unabhängig sind - also dass es einem Kanal egal ist, ob seine Nachbarn offen oder zu sind (so 100% stimmt das in Natura nicht, aber es ist eine vereinfachte Modellannahme).

Nun nehmen wir an, dass ein Strom der Stärke $i$ durch einen Kanal fließt, dann fließt ein Strom der Stärke $k*i$ durch k Kanäle. Für großes $N$ ist die Erwartung für $k=pN$ und die Fluktuationen in $k$ verhalten sich proportional zu [mm] $\sqrt{N}$ [/mm] -- soweit mich mein Statistik Wissen nicht trügt und ich nicht allzuviel vergessen habe :)

Na gut - nun wollte ich das ganze an einem simplen Modell testen und habe dafür einen kleinen Python Code geschrieben:

Schrittweise wird die Membranfläche (und damit die Anzahl der Ionenkanäle) erhöht und pro Durchlauf wird der RMS Wert des voltage current v ermittelt - die RMS Werte wachsen allerdings nicht, sondern (wenn man wirklich viele Durchläuft macht) zentrieren sich um den Mittelwert ... irgendwie auch nicht soo erstaunlich, aber sollten die Schwankungen um den Mittelwert tendenziell größer werden, lediglich die relativen Schwankungen sollten abnehmen.

Ich habe die Frage auch hier gestellt :

https://stackoverflow.com/questions/62016991/fluctuations-in-a-membrane-model

hier ist der Python Code und auch ein Plot angehängt, falls es jemanden interessiert.

Danke und LG

Thomas

PS: es ist schwierig für mich, so eine Frage nicht mit zu vielen biologischen, modellmäßigen Details zu überladen - solltet ihr deutlich mehr Infos wünschen, bitte um eine kurze Mitteilung, dann erweitere ich die Frage entsprechend.








        
Bezug
Fluktuationen einer Zeitreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:44 Mi 27.05.2020
Autor: Thomas_Aut

Bitte den Fälligkeitszeitpunkt auf open end stellen :)

Bezug
                
Bezug
Fluktuationen einer Zeitreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:39 Do 28.05.2020
Autor: chrisno

done

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