Fluss durch Kegel < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Di 10.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | | Man berechne den Fluss von F (xy,y²,z²+z) durch die schrägen Flächen des Kegels 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le 4-\wurzel{x²+y²} [/mm] |
Hallo alle zusammen!
Also gehe mit folgender Vorgehensweise vor: Mir dämmert es, dass sich das ganze Fluss von Gauss nennt, aber ich bin mir nicht sicher, jedenfalls:
Der Gesamfluss durch diesen Zylinder ist ja nichts anderes als:
[mm] \integral_{a}^{b}{\integral_{a}^{b}{\integral_{a}^{b}{div F() dz} dy} dx}
[/mm]
div F:= (y,2y,2z+1)
Nun wäre der Gesamtfluss nichts anderes als:
[mm] \integral_{a}^{b}{\integral_{a}^{b}{\integral_{0}^{4-\wurzel{x²+y²}}{y+2y+2z-1 dz} dy} dx}
[/mm]
was ergibt:
[mm] (4-\wurzel{x²+y²}*3y +16-8*\wurzel{x²+y²} [/mm] + [mm] x²+y²-4+\wurzel{x²+y²}
[/mm]
In Polarkoordinaten mit x=r*cos(t) und y=r*sin(t)
mit der Integration für r welches zwischen 0 und 4 variiert und mit t zwischen 0 und 2*Pi kome ich auf den Fluss von 20,7Pi (habs mitm Taschenrechner gerechnet nachdem ich mit Hand mehrmals variierende Ergebnise bekommen habe..)
Nun will ich ja den Fluss der durch die schräge Fläche des Kegels fließt. Das wäre ja nichts anderes als die Differenz zwischen dem Gesamtfluss und dem Fluss durch due Grundfläche.
Nur, wie rechnet man jetzt den Fluss durch die Grundfläche (Kreis mit Radius 4) aus?
Dankesehr
lg
Zuggel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Di 10.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
Kann es sein, dass der Fluss durch die Grundfläche nichts weiter als:
F:= Vektor auf der Oberfläche, z Koordinate=0
also F:= (xy,y²,0)
Könnte es sein, dass der Fluss so definiert wird:
[mm] \integral_{}^{}{\integral_{G}^{}{F*n dy}dx}
[/mm]
wobei G:= Grundfläche, Kreis mit Radius 4
ist, wobei n der Normalvektor des Flusses ist, welchen ich berechnen will. Da die Fläche in der x,y Ebene liegt, kann der einzige Fluss in Richtung n(0,0,+/-1) vor sich gehen, multipliziert man dies mit F so bekomme ich 0 heraus, und somit ist der Fluss hinein gleich 0.
Also sollte das Ergebnis welches ich mit Gauss berechnet habe stimmen, oder nicht?
Dankesehr
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Di 10.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass der Fluss durch die Grundfläche 0 ist ist richtig. ob du das Volumenintegral richtig berechnet hast hab ich nicht nachgerechnet!
wenn ja, bist du fertig.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Di 10.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
Weißt du zufällig wie das ganze funktionieren würde, wenn ich das direkt rechnen würde. D.H. Den Vektor direkt mit einem zur Oberfläche des Kegels orthogonalen Vektor multiplizieren würde?
Wie würde der Vektor dann aussehen?
Er müsste ja in Abhängigkeit des Integrations-Winkels "t" gebracht werden. Nur ich sehe da keinen Zusammenhang zwischen dem Winkel und dem dazu orthogonalen Vektor [mm] O_O
[/mm]
lg
Zuggel
Danke
PS: Gibt es noch einen einfacheren Weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Di 10.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ganz zufällig ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
am einfachsten in Zylinderkoordinaten
[mm] \vec{x}=\vektor{rcos\phi \\ rsin\phi\\ 4-r}
[/mm]
damit sind die 2 Tangenten Richtung phi=const und r=const
[mm] t1=\bruch{d\vec{x}}{dr} [/mm] ; t2= [mm] \bruch{d\vec{x}}{d\phi}
[/mm]
dA=|dt1|*|dt2| da t1 und t2 senkrecht aufeinander! und der Vektor senkrecht auf den beiden ist [mm] \vektor{cos\phi\\ sin\phi\\1} [/mm] muss noch normiert werden.
[mm] d\vec{A}=\wurzel{2}*dr*rd\phi*1/\wurzel{2}*\vektor{cos\phi\\ sin\phi\\ 1} [/mm]
damit musst du hinkommen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo
> Ganz zufällig
> am einfachsten in Zylinderkoordinaten
> [mm]\vec{x}=\vektor{rcos\phi \\ rsin\phi\\ 4-r}[/mm]
Das ist recht genial, ich wusste gar nicht, dass so etwas möglich ist. Also die Beschreibung eines Kegels mit Zylinder-Koordinaten
> damit sind
> die 2 Tangenten Richtung ˜phi=const und r=const
>
> [mm]t1=\bruch{d\vec{x}}{dr}[/mm] ; t2= [mm]\bruch{d\vec{x}}{d\phi}[/mm]
> dA=|dt1|*|dt2| da t1 und t2 senkrecht aufeinander! und
> der Vektor senkrecht auf den beiden ist
Bis hierher ist das ganze noch recht einleuchtend!
[mm]\vektor{cos\phi\\ sin\phi\\1}[/mm]
Ist dieser Vektor jetzt der Vektor dA? Ist das die Fläche welcher durch die beiden Vektoren beschrieben wird, während einer Integration? Deshalb auch das Skalarprodukt, nehme ich an?
> muss noch normiert werden.
>
> [mm]d\vec{A}=\wurzel{2}*dr*rd\phi*1/\wurzel{2}*\vektor{cos\phi\\ sin\phi\\ 1}[/mm]
Normiert? Entschuldige die Frage, ich studiere eben auf ital. und mir sind die deutschen Fachbegriffe nicht alle geläufig.
Bei der Integration dürfte dann noch eine Jacobi-Konstante dazu kommen, nehme ich an?
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Mi 11.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hast du die 2 Tangentialvektoren hingeschrieben, und dich überzeugt, dass sie senkrecht sind?
Dann kannst du den Vektor dA auch als Kreuzprodukt der 2 berechnen.
ist vielleicht noch anschaulicher als mein Weg.
ich hab einfach direkt gesehen dass der angegebene Vektor einer ist der senkrecht auf t1 und t2 ist!
da ich ja dA aus den Tangentialvektoren (also anschaulich) ausgerechnet habe, is nix mit noch Jakobi, denn die brauch ich ja nur bei Koordinatentransformation, und die hab ich ja direkt. mal dir mal so nen kegel und darauf nen kleines Flächenstück, so mach ich das.
[mm] \vec{dA} [/mm] ist schon der richtige, ich weiss nicht wo da noch ne Jakobikonstante hinsoll.
normieren heisst die Länge auf 1 bringen.
also musst du jetzt nur noch mit [mm] \vec{F} [/mm] skalar multiplizieren und über [mm] \phi [/mm] und r integrieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Do 12.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
Das mit dem Kreuzprodukt hatte ich mir schon fast gedacht. Jetzt ist es klar einleuchtend :)! Aber ob ich das in einer Prüfunbgssituation auch so locker hinbekomme, mal sehen ;)
Wo wir gerade beim Thema Fluss sind, ich bin hier über eine relativ einfache Aufgabe getoßen, die mir aber nicht herauskommen will so wie ich es möchte. Und zwar ist die Aufgabe:
Vektor V(1,2,3) welcher den Fluss erzeugt, von diesem ist der Fluss nach oben durch die Fläche eines Kreises mit Radius 1 gefragt, welcher in der Ebene x+y+z=0 liegt.
z=-x-y alos eine fallende Ebene und somit:
Ein Kreis in der Ebene hat die Grundfläche [mm] r²*\pi, [/mm] da wir hier einen geneigten Kreis haben und ich den Fluss in Richtung n:=(0,0,1) suchen, muss ich hier die Projektion der Kreisfläche auf die x-y Ebene betrachten.
Die Neigung beträgt ja -45° oder [mm] -\pi/4 [/mm] und somit wäre der horizontale Radius des Kreises ja nichts weiter als [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*r.
[/mm]
Daraus resultier das Integral von V*n = (0,0,3):
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{\bruch{1}{\wurzel{2}}*r}{3 dr} dt} [/mm] = [mm] 3*\pi*\wurzel{2}*1
[/mm]
Das Ergebnis sollte jedoch: [mm] 2*\pi [/mm] * [mm] \wurzel{3} [/mm] sein.
Aufgrund des Ergebnisses nehme ich an, dass ich mit meiner Projektion in die x-y Ebene der Kreisfläche auf dem kompletten Holzweg wander...
Könntest du mir vielleicht einen kleinen Hinweis geben wo ich den Fehler gemacht habe?
Dankesehr
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Do 12.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Aufgabe "Fluss nach oben" macht für mich keinen Sinn, da ja der Fluss kein Vektor ist.
Da ist noch am ehesten deine Interpretation richtig, dann brauchst du aber kein Integralm sondern einfach Nur den Anteil von V nach oben*Fläche des proj. Kreises.
kein Integral. Aber wenn du das mit dem Integral üben willst ist dA=dr*rdt nicht dr*dt! Das ist anschaulich klar, wenn du dir ein Kleines Flächenstück aufmalst, mit dt und dr also ein Stückchen Kreisring der Dicke dr
amit kommt aber auch nicht das angegebene Ergebnis raus.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Do 12.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
V (1, 2, 3 ) ist auch kein Vektor sondern ein Vektorfeld, habe ich gerade gesehen.
Nun die Intepretation kann auch nicht richtig sein, denn die Fläche wäre ja nichts weiter als:
[mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}*r [/mm] := Radius mit r=1
A= [mm] (\bruch{\wurzel{2}}{2}*r)² [/mm] * pi = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] *pi und das ist auch nicht das richtige Ergebnis.Trotz der recht einfachen Aufgabenstellung doch irgendwie ein Problem für mich :D
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Do 12.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass V ein konstantes Vektorfeld ist musste ich wohl annehmen, sonst gäbs keinen Fluss!
Deine Schreibeise ist schludrig: [mm] A=r^2/2 \Phi=3r^2/2! [/mm] aber sinnlos!
post doch den wahren Text der Aufgabe!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Do 12.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Detto C un cerchio di raggio 1 contenuto nel piano di equazione x+y+z=0, quanto vale il flusso che attraversa C verso l'alto del campo vettoriale V=(1,2,3)?
Es sei C ein Kreis mit Radius 1 auf der Ebene x+y+z=0, wiaviel beträgt der Fluss welcher C in Richtung "nach oben" passiert des Vektorfeldes (1,2,3)? |
Hallo!
Somit hätte ich den Original Text auf Italienisch und den Text auf Deutsch gepostet. Mehr steht nicht :). Aber recht viel mehr sagt dieser Text auch nicht aus als das, was ich dir geschrieben habe, oder?
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Do 12.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
verso l'alto würde ich als in Richtung der positiven Normalen rechnen.
die Normale hat die Richtung (1,1,1) oder (-1,-1,-1) also ist die erste gemeint.
Einheitsnormale dann [mm] 1/\wurzel{3}*(1,1,1)
[/mm]
also [mm] /vec{A}=r^2*\pi/\wurzel{3}*(1,1,1) [/mm] und das skalar mal V da V=const.
damit hab ich aber [mm] 5\pi/\wurzel{3}.
[/mm]
Also hast du das Ergebnis falsch gelesen, oder es ist falsch.
Anders kann man über den Fluss auch nicht reden. den gibts durch eine Fläche oder nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Fr 13.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Dati F(x,y,z) = (x,y,z) e S={(x,y,z): x²+y²+z²=1 [mm] x\ge0,y\ge0,z\ge0}, [/mm] il flusso di F verso l'origine attraverso S é....
Gegeben ist F(x,y,z) = (x,y,z) und S ={(x,y,z): x²+y²+z²=1 [mm] x\ge0,y\ge0,z\ge0}, [/mm] der Fluss F in Richtung Ursprung (=origine) durch S ist....
Lösung: [- [mm] \bruch{\pi}{2}] [/mm] |
Also wie ich es immer angenommen habe, war "flusso verso l'alto" also der Fluss nach oben immer (0,0,1), also in z positiv. Angenehmer wäre es natürlich, wenn direkt ein Normalvektor angegeben würde, um es zu vereinfachen, aber dann könnte es ja passieren, dass bei der Prüfung zu viele Studenten, als die herkömmlichen 20%, durchkommen würden....
Also ich habe jetzt mal dem Professor geschrieben bezüglich dieser Aufgabe, ich poste dann seine Antwort, sobald diese eintrifft.
Ich hoffe ich darf dich noch kurz etwas fragen ohne dich zu nerven ;). Die Aufgabe lautet wie oben angegeben.
Jetzt haben wir ja ein Vektorfeld, und zwar (x,y,z). (Um das noch kurz anzuschneiden, (x,y,z) kann man sich ja so vorstellen, dass sozusagen in jede positive Richtung ein einheitlicher Fluss stattfindet. Würde man das jetzt, um es simpel zu beschreiben, mit einem Wasserstrom vergleichen, so würde das ganze im Raum, relativ zu x,y,z, einen Strom in Richtung +Pi/4 relativ zu jeder Achse machen, liege ich da richtig? - ich verstehe das ganze immer besser, wenn ich es mir irgendwie vorstellen kann, wie dir vielleicht schon aufgefallen sein mag..)
Jedenfalls ist der Fluss Richtung Ursprung gefragt, also könnte man ja durchwegs mit Gauss den Gesamfluss ausrechnen:
div F:= (1,1,1)
Somit: [mm] \integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\integral_{S}^{}{3 dz} dy} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\pi/2}{\integral_{0}^{\pi/2}{\integral_{0}^{1}{3 r²*sin \phi dr} d\phi} d\deta} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Nun, betrachte ich mir dir Halbkreise jeweils in x-y / y-z und x-z. Zu den Normalvektoren:
x-y kann nur einen Fluss in Richtung (0,0,1) aufnehmen, welcher skalar F beträgt (0,0,z), wobei z=0, also kein Fluss
Für y-z und x-z das Selbe, somit ist der einzige Fluss den ich habe, über die gekrümmte Oberfläche im Raum. Dadurch, dass das Ergebnis positiv ist, heißt es ja, dass mein Fluss aus dem Volumen hinaus geht, und somit wäre für mich das Resultat 0, denn wenn kein Fluss in Richtung Volumen geht, wie kann er dann [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] sein?
Ich hoffe ich habe meine Denkensweise halbwegs ordentlich erklären können.
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Fr 13.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
der F Vektor steht senkrecht auf der Kugeloberfläche mit Radius 1.
die Kugeloberfläche ht 2 Normalenvektoren, einen nach aussen , Richtung von F und den entgegengesetzten, Richtun 0 Pkt. der ist hier gemeint also Normalenvektor
[mm] dA=1/\wurzel{x^2+y^2+z^2}*(-x,-y,-z)dxdydz [/mm]
da F und dA überall antiparallel sind, hast du als Integral genau den negativen Flächeninhalt des Kugelstücks, was ein achtel Kugel ist, also [mm] -\pi/2
[/mm]
Euer Prof scheint wert auf die jeweilige Richtung der Normale zu legen , at alto
nach oben, aalso positiv, zum Ursprung hin, also negativ usv.
offensichtlich kann man alle diese Aufgaben mit einfacher Anschauung lösen, was dann in ner Klausur viel unnötige Arbeit erspart, und nur einen erklärenden satz braucht. Also mach dir ne kurze Skizze des Vektorfelds und der Fläche und du sparst viel Zeit.
Beim Fluss durch ne Fläche kommts immer auf die Richtung an: und was pos rausfliesst, fliesst negativ rein.
(Wenn durch nen draht ein echter Stromfluss flisst, kannst du doch auch sagen ein positiver Strom fliesst von links nach rechts durch den Querschnitt , oder ein negativer Strom von rechts nach links! daher kommt ja auch der Ausdruck "Fluss"
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Fr 13.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo
> der F Vektor steht senkrecht auf der Kugeloberfläche mit
> Radius 1.
> die Kugeloberfläche ht 2 Normalenvektoren, einen nach
> aussen , Richtung von F und den entgegengesetzten, Richtun
> 0 Pkt. der ist hier gemeint also Normalenvektor
>
> [mm]dA=1/\wurzel{x^2+y^2+z^2}*(-x,-y,-z)dxdydz[/mm]
Selbst wäre ich darauf wohl nicht gekommen, ich hatte zwar angefangen das ganze in Kugel-Koordinaten zu schreiben, aber als ich dann F mit n multiplizieren wollte, wurde mir das ganze doch zu umständlich und ich dachte mir, es muss doch einen einfacheren Weg geben.
>
> da F und dA überall antiparallel sind, hast du als Integral
> genau den negativen Flächeninhalt des Kugelstücks, was ein
> achtel Kugel ist, also [mm]-\pi/2[/mm]
Das ging jetzt definitiv zu schnell. 1/8 Kugel? Wie kommst du darauf?
> Euer Prof scheint wert auf die jeweilige Richtung der
> Normale zu legen , at alto
> nach oben, aalso positiv, zum Ursprung hin, also negativ
> usv.
> offensichtlich kann man alle diese Aufgaben mit einfacher
> Anschauung lösen, was dann in ner Klausur viel unnötige
> Arbeit erspart, und nur einen erklärenden satz braucht.
> Also mach dir ne kurze Skizze des Vektorfelds und der
> Fläche und du sparst viel Zeit.
Also er ist effektiv "Vektor-geil" wenn ich mir dne Ausdruck erlauben darf. Jedenfalls aufzeichnen schön und gut, nur oft fehlt einfach die Idee zum lösen des ganzen. Wenn eine Ebene/ Gerade usw gefragt ist, da bin ich mittlerweile sehr gut mitgekommen, danke matheraum hier und vielem Üben. Aber Teilkapitel wie Fluss und Kurvenintegral stehen noch auf dem Programm bis zur Klausur...
> Beim Fluss durch ne Fläche kommts immer auf die Richtung
> an: und was pos rausfliesst, fliesst negativ rein.
> (Wenn durch nen draht ein echter Stromfluss flisst, kannst
> du doch auch sagen ein positiver Strom fliesst von links
> nach rechts durch den Querschnitt , oder ein negativer
> Strom von rechts nach links! daher kommt ja auch der
> Ausdruck "Fluss"
> Gruss leduart
So hab ich mir das ganze auch immer vorgestellt ;)
Dankesehr
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Fr 13.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich glaub "vektorgeil" MUSS man als guter Physiker sein und als Mathematiker ausser man betreibt Logik oder Zahlentheorie auch.
1/8 Kugel: x-y Ebene halbiert, y-z Ebene halbiert noch mal die Halfte, x-z Ebene davon noch mal die Hälfte gibt 1/8
Oder schneid einfach nen Apfel 3 mal senkrecht zueinander durch! Im R13 sollte man wirklich vieles anschaulich sehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Fr 13.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo
> ich glaub "vektorgeil" MUSS man als guter Physiker sein
> und als Mathematiker ausser man betreibt Logik oder
> Zahlentheorie auch.
Das stimmt wohl, trotzdem erschien es mir unfair seinerseits mich nicht passieren zu lassen, weil ich bei einer Rechnung nicht den kompletten Rechenweg angeführt hatte. Aber Schwamm drüber ;).
> 1/8 Kugel: x-y Ebene halbiert, y-z Ebene halbiert noch mal
> die Halfte, x-z Ebene davon noch mal die Hälfte gibt 1/8
Jetzt wo ich die Antwort weiß, erschien mir meine Frage recht dumm *grins*
Wenn ich das nochmals kurz anführen darf, wir hatten zu Beginn das Thema des Flusses durch den Kegel, wobei du mir zu den Zylinder-Koordinaten geraten hast.
Ich sollte doch:
[mm] d\vec{A}=\wurzel{2}\cdot{}dr\cdot{}rd\phi\cdot{}1/\wurzel{2}\cdot{}\vektor{cos\phi\\ sin\phi\\ 1}
[/mm]
skalar mit F multiplizieren.
Dabei viel mir auf, dA kann man ja auch so anschreiben: [mm] \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}} *r*dr*d\phi [/mm] = [mm] r*dr*d\phi *\vektor{cos\phi\\ sin\phi\\ 1} [/mm] * (xy,y²,z²+z)
Ohne jetzt weiterzurechnen; ist das ganze nicht doch etwas langwieriger als ein Integral zu führen mit einem Kreis als Basis und einem sich durch eine zB z-Funktion variierenden Radius?
Ich hatte eben noch einen Weg gefunden, welcher in einem anderen Resultat endete und wollte mit deinem Weg nun herausfinden, welcher jetzt nun der Richtige ist.
Zur Vollständigkeit, mein 2. Weg:
[mm] \integral_{0}^{4}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{4-z}{r*F(x,y,z) dr} d\phi} dz}
[/mm]
Ich kontrolliere die Integrale immer, indem ich anstatt auf einer Funktion zu integrieren, mein Integral auf 1 mache, und schaue, ob das Volumen richtig herauskommt, welches ich dann durch eine Standart-Formel, im Falle eines Kegels [mm] \bruch{1}{3}*r²*\pi*h [/mm] = [mm] \bruch{64*\pi}{3}, [/mm] abgleiche. Und bei beiden Integralen ist dies der Fall, nur wenn ich dann mit dem Fluss rechne variiert das Ergebnis irgendwie [mm] O_o
[/mm]
lg
Zuggel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 Fr 13.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst nicht F(x,y,z) in kart. Koordinaten und das Integrationsgebiet in Zylinderkoordinaten geben und dann integrieren. oder hast du das nicht so gemeint?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo
> Du kannst nicht F(x,y,z) in kart. Koordinaten und das
> Integrationsgebiet in Zylinderkoordinaten geben und dann
> integrieren. oder hast du das nicht so gemeint?
> Gruss leduart
Nein, das hätte ich natürlich nicht getan. Aber eben du sagtest es wäre ein einfacherer Weg, wenn ich mir das ganze anschaue:
[mm] \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}} \cdot{}r\cdot{}dr\cdot{}d\phi*\vektor{cos\phi\\ sin\phi\\ 1} [/mm] *F = [mm] r\cdot{}dr\cdot{}d\phi \cdot{}\vektor{cos\phi\\ sin\phi\\ 1} [/mm] *F
wobei F (xy,y²,z²+z) mit [mm] \vec{x}=\vektor{rcos\phi \\ rsin\phi\\ 4-r} [/mm] := [mm] (rcos\phi [/mm] * [mm] rsin\phi,r²sin\phi,(4-r)²+4-r) [/mm] folgt:
[mm] r\cdot{}dr\cdot{}d\phi \cdot{}\vektor{cos\phi\\ sin\phi\\ 1} [/mm] * [mm] (rcos\phi [/mm] * [mm] rsin\phi,r²sin\phi,(4-r)²+4-r) [/mm] =>
Im Integral dann:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{4}{r³cos²\phisin\phi+r³sin³\phi-r*[(4-r)²+4-r] dr}d\phi}
[/mm]
Dann erscheint mir das nicht unbedingt vorteilhafter als die andere Integration, das meinte ich damit. Wobei ich nicht glaube, dass mein Ergebnis hier richtig ist; denn, wenn ich das im Taschenrechner rechne, bekomme ich 0 heraus, was wohl nicht stimmen kann.
Dankesehr
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Sa 14.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein letzes Integral ist falsch, erster Summand:
[mm] r^3*(cos^2x*sinx+sin^3x)=r^3sinx [/mm] ergibt 0 bei Integration über [mm] 2\pi.
[/mm]
der Rest integriert ist (zu Fuss) ungleich 0
Das Volumenintegral hab ich nicht mehr im Kopf, gut möglich, dass es einfacher ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
Hallo!
Also meine letzte Frage ist gelöst, der richtige Fluss durch den Kegel ist effektiv [mm] \bruch{64*\pi}{3}.
[/mm]
Nur eine Frage bleibt mir noch zu angesprochenem Integral. Du sagst, mein Normalvektor wäre:
n= [mm] \bruch{-xe_1 -ye_2 -ze_3}{\wurzel{x²+y²+z²}} [/mm] welcher Antiparallel zu F(x,y,z) ist. Bis hierher ist es ja auch noch klar, aber wie kommst du schlicht und einfach zur These, dass nun das Integral gleich dem negativen Flächeninhalt ist (Wir hatten ja auch zum Diskurs, dass wenn ich keinen Vektor habe, kann ich ganz einfach mit der Fläche multiplizieren, jedoch im Falle eines Vektors ist ein Integral notwendig).
Soweit bin ich gekommen: Wenn mein Normalvektor nach innen zeigt, dann ist also der Fluss nach ausen, welcher durch Gauss [mm] 0,5*\pi [/mm] war, für mich klarerweise negativ, welches auch durch das Skalarprodukt ersichtlich sein sollte: Vektor skalar -Vektor = -Vektor. Soweit klar, aber wie du sagtest, dass ich das durch ein Integral klar sehen kann, ist mir ein Rätsel. Ich müsste hierbei immer noch kontrollieren ob ich keinen Fluss durch die seitlichen Flächen hätte, also die der x-z,x-y und y-z Ebene.
Dankeschön
lg
Zuggel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Mo 16.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst doch den Fluss durch die Sphäre, wie kommst du auf den Fluss durch deine Ebenen?
Das Integral brauchst du nicht, weil F überall senkrecht auf A steht., also auf jedem Stück dA der gleiche Fluss. mit dem Betrag r=1 ist. d.h. FdA=1*|dA| und
für [mm] r\ne [/mm] 1 wäre es r*dA r=const
Aber wenn du unsicher bist, schreib einfach das Integral hin!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Di 17.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo
> du willst doch den Fluss durch die Sphäre, wie kommst du
> auf den Fluss durch deine Ebenen?
Weil ich mir deine Aussage "da F und dA überall antiparallel sind, hast du als Integral genau den negativen Flächeninhalt des Kugelstücks, was ein achtel Kugel ist" versucht habe zu erklären.
> Das Integral brauchst du nicht, weil F überall senkrecht
> auf A steht., also auf jedem Stück dA der gleiche Fluss.
Das ergibt Sinn!
> mit dem Betrag r=1 ist. d.h. FdA=1*|dA| und
müsste jetzt nicht -1 stehen? Wir hatten doch F skalar dA mit F senkrecht auf dA welcher negativ zur Kugeloberfläche war. Dann müsste es doch negativ werden?!
> für [mm]r\ne[/mm] 1 wäre es r*dA r=const
> Aber wenn du unsicher bist, schreib einfach das Integral
> hin!
Das Integral wäre ja nichts anderes als [mm] \integral_{}^{S}{F*dA dS} [/mm] wobei S die Kugeloberfläche wäre, nehme ich an? F*dA wäre dann:
[mm] \bruch{-x²}{\wurzel{x²+y²+z²}}+\bruch{-y²}{\wurzel{x²+y²+z²}}+\bruch{-z²}{\wurzel{x²+y²+z²}}
[/mm]
Das noch integrieren, oje... Da gefällt mir deine Methode besser 
Danke
lg
Zuggel
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> Das Integral wäre ja nichts anderes als
> [mm]\integral_{}^{S}{F*dA dS}[/mm] wobei S die Kugeloberfläche wäre,
> nehme ich an? F*dA wäre dann:
>
> [mm]\bruch{-x²}{\wurzel{x²+y²+z²}}+\bruch{-y²}{\wurzel{x²+y²+z²}}+\bruch{-z²}{\wurzel{x²+y²+z²}}[/mm]
>
> Das noch integrieren, oje...
Schau doch, wie schön dieser Term ist !
[mm] -\ \bruch{x^2+y^2+z^2}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}=\ -\ \bruch{r^2}{r}=\ -\ r[/mm]
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Di 17.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
Ach du grüne Neune, das wäre mir jetzt nicht aufgefallen. Dankesehr ;)! So ergibt das natürlich viel mehr Sinn :D!
Dankeschön :)
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