Fluss durch Seitenfläche < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Mo 23.05.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Bestimmen sie den Fluss des Vektorfeldes f(xy) [mm] =\vektor{xz \\ yz \\ xy} [/mm] durch die Oberfläche S des Prismas
P: x+y [mm] \le [/mm] 1 x,y [mm] \ge [/mm] 0 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1 nach außen. Wie groß ist der Fluss durch die in der xy-Ebene liegende Seitenfläche Pxy? |
Also den ersten Teil habe ich hinbekommen. Also den Fluss durch die Oberfläche S.
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1-y} [/mm] {2z dx dy dz} = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Bei der Lösung der Seitenfläche Pxy versteh ich aber einen Teil nicht:
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1-y} {\vektor{0 \\ 0\\ xy} * \vektor{0 \\ 0\\ -1 } dxdy}
[/mm]
Die Grenzen sind mir klar, aber wie komme ich auf den Part [mm] \vektor{0 \\ 0\\ xy} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0\\ -1 }? [/mm]
Vielen Dank für eine Erläuterung!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Di 24.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst doch ueber den senkrechten anteil von f auf der flaeche integrieren welcher vektor steht denn senkrecht auf der x-y ebene?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Sa 27.08.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ich habe doch noch eine Frage zu dieser Aufgabe:
Teil a)
Ich wollte nun hier über eine Parametrisierung gehen und das dann mit dem Satz von Gauß berechnen.
x = r * [mm] cos(\phi) [/mm]
y= r * [mm] sin(\phi)
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{2} \pi} \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1} [/mm] { 2z * r(Funktionaldeterminante)} dz dr [mm] d\phi
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} \pi [/mm] habe ich gewählt, da es sich ja nur um den positiven Bereich von x und y handelt.
Jedoch komm ich dabei nicht auf die - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Wo ist mein Denkfehler?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Sa 27.08.2011 | | Autor: | Calli |
Hi zocca21 !
Ich verstehe nicht, was Dich bewegt, hier Zylinderkoordinaten zu verwenden.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Ciao Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Sa 27.08.2011 | | Autor: | zocca21 |
ICh dachte dass es eigentlich gerade bei sowas geschickt sein könnte.
Ein Prisma ist ja ein Teil eines Zylinders oder?
Ist das hier nicht möglich?
Viele Grüße
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Hallo zocca21,
> ICh dachte dass es eigentlich gerade bei sowas geschickt
> sein könnte.
>
> Ein Prisma ist ja ein Teil eines Zylinders oder?
>
Nein.
> Ist das hier nicht möglich?
>
Die Parametrisierung kannst Du ohne Zweifel verwenden,
dann musst Du die Grenzen entsprechend ändern.
[mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{2} \pi} \integral_{0}^{\blue{1}} \integral_{0}^{1} { 2z * r} \ dz \ dr \ d\phi [/mm]
Die blau markierte Grenze ist von [mm]\phi[/mm] abhängig.
Und wenn Du dann noch die Grenzen de äußeren Integrals vertauscht,
dann kommt auch das geforderte heraus.
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 So 28.08.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ok:
Also, dass ich richtig liege, das Prisma sieht hier schon folgendermaßen aus.
Es ist ein Körper, der auf er XY-Ebene sich kreisförmig von 0 bis 1/2 [mm] \pi [/mm] bewegt. Außerdem hat er eine gewisse Höhe z.
Was ich bei der Parametrisierung in kartesischen Koordinaten nicht ganz verstehe. Woher weiß ich hier dass es wenn man nur die XY Ebene betrachtet nur ein Teil des Kreieses ist.
Ich dachte die Integral eines Kreises(radius 1) wäre:
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\wurzel{1-x^2}}{f(x) dy dx}
[/mm]
und hier ist es ja nur ein Teil? Wo ist der Unterschied bei den Grenzen?
Und da dachte ich nun bei dieser Aufgabe würde es sich ohne die Bedingung x,y [mm] \ge [/mm] 0 um einen Zylinder handeln. Und nun wird dadurch einfach ein Teil davon genommen.
Aber da lieg ich wohl falsch?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 So 28.08.2011 | | Autor: | chrisno |
Hallo
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> Es ist ein Körper, der auf er XY-Ebene sich kreisförmig
> von 0 bis 1/2 [mm]\pi[/mm] bewegt.
Da bist Du total neben der Spur. Daher sind die ganzen folgenden Gedanken nicht für die Problemlösung relevant. Schau nach, was ein Prisma ist. Zeichne dann den Verlauf der Grenzflächen, wie er durch die Aufgabe gegeben ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 So 28.08.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ja, ich idiot bin die ganze Zeit davon ausgegangen, es wäre [mm] x^2 [/mm] + y² [mm] \le [/mm] 1.
Brett vorm Kopf.. Nun ist auch klar, dass hier Zylinderkoordinaten keinen Sinn machen..
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