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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 So 19.12.2004 | | Autor: | Ursus |
Hi Leute!
Ich hab mal wieder ein Problem bei dieser Aufgabe.
Es sei a eine rationale Zahl. Man gebe eine Folge aus lauter rationalen Zahlen an, die gegen [mm] \wurzel[3]{a} [/mm] konvergiert.
Mein Vorschlag:
Ich habs mal mit dem Newton-Verfahren probiert und da komm ich auf folgende rekursiv definierte Folge:
[mm] x_{0} [/mm] = a
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] (2x + a/ [mm] x^{2} [/mm] )
Frage: Ist es egal, dass die Folge rekursiv definiert ist, weil, wenn man einsetzt und ausrechnet bekommt man ja eine Folge mit lauter rationalen Zahlen, oder? Jetzt müsste ich nur noch zeigen, dass diese Formel gegen [mm] \wurzel[3]{a} [/mm] konvergiert, dann wäre ich fertig.
Sind hier meine Ansätze richtig?
Besten Dank fürs Helfen!
mfg URSUS
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 So 19.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Ursus
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> Es sei a eine rationale Zahl. Man gebe eine Folge aus
> lauter rationalen Zahlen an, die gegen [mm]\wurzel[3]{a}[/mm]
> konvergiert.
>
> Mein Vorschlag:
> Ich habs mal mit dem Newton-Verfahren probiert und da komm
> ich auf folgende rekursiv definierte Folge:
> [mm]x_{0}[/mm] = a
> [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] (2x + a/ [mm]x^{2}[/mm] )
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das hätte ich wohl auch so gemacht. Allerdings die Formel etwas genauer hingeschrieben: rechts muss das x jeweils mit dem Index n versehen werden. Also so:
[mm] $x_{n+1}=\bruch{1}{3}(2x_n+\bruch{a}{x_{n}^2})$
[/mm]
Im weiteren müsste wohl noch die Fallunterscheidung gemacht werden: wenn $a_$ den Wert $0_$ hat, dann nehme man die konstante Folge
[mm] $x_n=0$ [/mm] für alle $n_$.
> Frage: Ist es egal, dass die Folge rekursiv definiert ist,
> weil, wenn man einsetzt und ausrechnet bekommt man ja
> eine Folge mit lauter rationalen Zahlen, oder? Jetzt müsste
Ja klar, die Aufgabe verlangt ja nicht, dass die einzelnen Glieder explizit angegeben werden. Und eine Folge darf nun mal rekursiv definiert werden. Das ist ganz legal!
> ich nur noch zeigen, dass diese Formel gegen [mm]\wurzel[3]{a}[/mm]
> konvergiert, dann wäre ich fertig.
>
> Sind hier meine Ansätze richtig?
Ja, ich denke, das ist richtig!
Mit lieben Grüssen
Paul
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