Folge (1-1/(n!))^n < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Sa 01.08.2009 | | Autor: | Rimtech |
Hallo
ich bin auf diese Folge gestoßen, die der Eulerfolge sehr ähnelt:
[mm] a_{n} [/mm] = (1 - [mm] \bruch{1}{n!})^n
[/mm]
Ich soll zuerst die Konvergenz zeigen und dann den Grenzwert berechnen.
Mit Quotienten- oder Wurzelkriterium bin ich nicht weiter gekommen, da sich am Ende lim -> 1 ergibt. Dann habe ich mir gedacht ich gebe die Folge [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] als konvergierende Majorante an, weiß aber nicht ob es tatsächlich die Majorante darstellt. Außerdem weiß ich nicht, wie ich den Grenzwert berechnen soll..
Wäre für Hilfe dankbar
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Hallo Rimtech,
> Hallo
> ich bin auf diese Folge gestoßen, die der Eulerfolge sehr
> ähnelt:
> [mm]a_{n}[/mm] = (1 - [mm]\bruch{1}{n!})^n[/mm]
>
> Ich soll zuerst die Konvergenz zeigen und dann den
> Grenzwert berechnen.
> Mit Quotienten- oder Wurzelkriterium ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die sind doch für Reihen ...
> bin ich nicht weiter
> gekommen, da sich am Ende lim -> 1 ergibt. Dann habe ich
> mir gedacht ich gebe die Folge [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] als
> konvergierende Majorante an, weiß aber nicht ob es
> tatsächlich die Majorante darstellt. Außerdem weiß ich
> nicht, wie ich den Grenzwert berechnen soll..
Ich verstehe überhaupt gar nicht, was hier gesucht ist.
Aber ich vermute folgendes:
Es ist die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n!}\right)^n$ [/mm] auf Konvergenz zu untersuchen?!
Die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n!}\right)^n$ [/mm] ist divergent, du kannst also keinen GW dafür angeben, das wächst über alle Grenzen.
Weder QK noch WK liefern dir im Falle [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1$ [/mm] bzw. [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$ [/mm] eine Aussage über Konvergenz/Divergenz der Reihe. Sie sind in diesem Falle nicht zu gebrauchen, und du musst dir was anderes einfallen lassen.
(Ob bei den beiden Kriterien nun tatsächlich 1 herauskommt, habe ich aber nicht nachgerechnet)
Hier geht es doch relativ bequem, wenn man sich mal das Trivialkriterium anschaut:
[mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergent [mm] $\Rightarrow (a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist Nullfolge
Mit Kontraposition ist das ja äquivalent zu [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] keine Nullfolge [mm] $\Rightarrow \sum a_n$ [/mm] divergent
Und was macht die Folge [mm] $\left(1-\frac{1}{n!}\right)^n$ [/mm] ? Strebt die gegen 0 für [mm] $n\to\infty$ [/mm] ?
Nein, sie strebt gegen 1, damit kann die Reihe [mm] $\sum\left(1-\frac{1}{n!}\right)^n$ [/mm] nicht konvergent sein ..
Es sind also keine fiesen Abschätzungen gegen eine divergente Minorante notwendig, das Trivialkriterium sichert dir direkt die Divergenz der Reihe
> Wäre für Hilfe dankbar
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Sa 01.08.2009 | | Autor: | Rimtech |
danke für deine Antwort schachuzipus.
Dass die unendliche Summe davon konvergiert ist mir klar, da die Folge keine Nullfolge ist..
Aber wie kann man mit Sicherheit sagen, dass die Folge (1 + [mm] \bruch{1}{n!})^n [/mm] gegen 1 strebt. Nehme ich zum Beispiel die Folge [mm] e_{n} [/mm] = (1+ [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] so konvergiert sie für [mm] n\to\infty [/mm] gegen die eulersche zahl und nicht gegen 1. wie kann ich zeigen dass die Folge gegen 1 konvergiert und nicht gegen eine andere zahl [mm] \not=1
[/mm]
ich hab' mir folgendes überlegt, sieht aber etwas umständlich aus..
1 [mm] \ge (1+\bruch{1}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^i [/mm] * [mm] \vektor{n \\ i}*(\bruch{1}{n!})^i \ge [/mm] 1 - [mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{n!})^i \ge [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{n!} \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i} \ge [/mm] 1 [mm] -\bruch{2^n}{n!} \ge [/mm] 1
zieh ich den limes auf beiden seiten so folgt aus dem "Quetschlemma" dass die Folge den GW 1 hat.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Sa 01.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Dass die unendliche Summe davon konvergiert ist mir klar,
> da die Folge keine Nullfolge ist..
Ja.
> Aber wie kann man mit Sicherheit sagen, dass die Folge (1
> + [mm]\bruch{1}{n!})^n[/mm] gegen 1 strebt. Nehme ich zum Beispiel
> die Folge [mm]e_{n}[/mm] = (1+ [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm] so konvergiert sie
> für [mm]n\to\infty[/mm] gegen die eulersche zahl und nicht gegen 1.
Ja.
> wie kann ich zeigen dass die Folge gegen 1 konvergiert und
> nicht gegen eine andere zahl [mm]\not=1[/mm]
>
> ich hab' mir folgendes überlegt, sieht aber etwas
> umständlich aus..
>
> 1 [mm]\ge (1+\bruch{1}{n!}[/mm]
Das gilt schon nicht.
> = [mm]\summe_{i=1}^{n} (-1)^i[/mm] *
> [mm]\vektor{n \\ i}*(\bruch{1}{n!})^i \ge[/mm] 1 -
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}[/mm] * [mm](\bruch{1}{n!})^i \ge[/mm] 1 -
> [mm]\bruch{1}{n!} \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i} \ge[/mm] 1
> [mm]-\bruch{2^n}{n!} \ge[/mm] 1
> zieh ich den limes auf beiden seiten so folgt aus dem
> "Quetschlemma" dass die Folge den GW 1 hat.
Es ist ja $1 [mm] \le [/mm] (1 + [mm] \frac{1}{n!})^n [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} (1/n!)^i [/mm] = 1 + [mm] \sum_{i=1}^n \binom{n}{i} (1/n!)^i \le [/mm] 1 + [mm] \sum_{i=1}^n \binom{n}{i} [/mm] (1/n!) [mm] \le [/mm] 1 + (1/n!) ( [mm] 2^n [/mm] - 1 ) [mm] \le [/mm] 1 + [mm] 2^n [/mm] / n!$.
Jetzt verwende das "Quetschlemma".
LG Felix
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Hallo nochmal,
> danke für deine Antwort schachuzipus.
>
> Dass die unendliche Summe davon konvergiert ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") DIVERGIERT ist mir klar,
> da die Folge keine Nullfolge ist..
verschrieben!?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 So 02.08.2009 | | Autor: | Rimtech |
Oh ja, da habe ich mich verschrieben. Sollte natürlich "divergiert" heißen.
Ich habe mich sogar noch einmal verschrieben da aus [mm] (1-1/n!)^n (1+1/n!)^n [/mm] geworden ist.
Danke felixf. Dadurch hatte ich dann in die falsche richtung abgeschätzt. Aber für [mm] (1-1/n!)^n [/mm] (also die erste ungleichung von meiner abschätzung) müsste es dann doch stimmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 So 02.08.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Rimtech,
>
> > Hallo
> > ich bin auf diese Folge gestoßen, die der Eulerfolge
> sehr
> > ähnelt:
> > [mm]a_{n}[/mm] = (1 - [mm]\bruch{1}{n!})^n[/mm]
Hallo,
du kannst diese Folge schreiben als [mm]a_{n}[/mm] = (1 - [mm]\bruch{1}{n!})^{\bruch{n!}{(n-1)!}}[/mm]
Ohne Anspruch auf mathematische Exaktheit:
Der Grenzwert von [mm]a_{n}[/mm] = (1 - [mm]\bruch{1}{n!})^{n!}[/mm] ist 1/e. Daraus wird noch die (n-1)!-Wurzel gezogen.
Gruß Abakus
> >
> > Ich soll zuerst die Konvergenz zeigen und dann den
> > Grenzwert berechnen.
> > Mit Quotienten- oder Wurzelkriterium
>
> Die sind doch für Reihen ...
>
> > bin ich nicht weiter
> > gekommen, da sich am Ende lim -> 1 ergibt. Dann habe ich
> > mir gedacht ich gebe die Folge [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] als
> > konvergierende Majorante an, weiß aber nicht ob es
> > tatsächlich die Majorante darstellt. Außerdem weiß ich
> > nicht, wie ich den Grenzwert berechnen soll..
>
> Ich verstehe überhaupt gar nicht, was hier gesucht ist.
>
> Aber ich vermute folgendes:
>
> Es ist die Reihe
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n!}\right)^n[/mm] auf
> Konvergenz zu untersuchen?!
>
>
> Die Reihe
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n!}\right)^n[/mm] ist
> divergent, du kannst also keinen GW dafür angeben, das
> wächst über alle Grenzen.
>
> Weder QK noch WK liefern dir im Falle
> [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1[/mm] bzw.
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1[/mm]
> eine Aussage über Konvergenz/Divergenz der Reihe. Sie sind
> in diesem Falle nicht zu gebrauchen, und du musst dir was
> anderes einfallen lassen.
>
> (Ob bei den beiden Kriterien nun tatsächlich 1
> herauskommt, habe ich aber nicht nachgerechnet)
>
> Hier geht es doch relativ bequem, wenn man sich mal das
> Trivialkriterium anschaut:
>
> [mm]\sum a_n[/mm] konvergent [mm]\Rightarrow (a_n)_{n\in\IN}[/mm] ist
> Nullfolge
>
> Mit Kontraposition ist das ja äquivalent zu
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] keine Nullfolge [mm]\Rightarrow \sum a_n[/mm]
> divergent
>
> Und was macht die Folge [mm]\left(1-\frac{1}{n!}\right)^n[/mm] ?
> Strebt die gegen 0 für [mm]n\to\infty[/mm] ?
>
> Nein, sie strebt gegen 1, damit kann die Reihe
> [mm]\sum\left(1-\frac{1}{n!}\right)^n[/mm] nicht konvergent sein ..
>
> Es sind also keine fiesen Abschätzungen gegen eine
> divergente Minorante notwendig, das Trivialkriterium
> sichert dir direkt die Divergenz der Reihe
>
> > Wäre für Hilfe dankbar
>
>
> LG
>
> schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 So 02.08.2009 | | Autor: | Rimtech |
Der Trick zur Umformung des Exponenten mit dem Fakultätenquotient ist interessant. Darauf muss mal erstmal kommen, danke.
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