Folge Konvergenz beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei eine Zahlenfolge [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] gegeben. Die durch [mm] a_n [/mm] = [mm] x_{2n} [/mm] , [mm] b_n [/mm] = [mm] x_{2n+1} [/mm] und [mm] c_n [/mm] = [mm] x_{3n} [/mm] gegebenen Zahlenfolgen [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] , [mm] (b_n)_{n \in \IN} [/mm] , [mm] (c_n)_{n \in \IN} [/mm] seien konvergent. Beweisen oder widerlegen Sie: Dann ist auch [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] konvergent. |
Hallo,
ich habe keinen Plan, wie ich das beweisen soll. Meine Vorüberlegungen halten sich in Grenzen:
[mm] a_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] haben die gemeinsame Teilfolge [mm] x_{6n} [/mm]
[mm] b_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] haben die gemeinsame Teilfolge [mm] x_{6n+3}
[/mm]
Ist eine Folge konvergent, so sind auch die Teilfolgen konvergent.
Das war's leider auch schon.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Mi 25.11.2015 | | Autor: | statler |
> Es sei eine Zahlenfolge [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] gegeben. Die
> durch [mm]a_n[/mm] = [mm]x_{2n}[/mm] , [mm]b_n[/mm] = [mm]x_{2n+1}[/mm] und [mm]c_n[/mm] = [mm]x_{3n}[/mm]
> gegebenen Zahlenfolgen [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] , [mm](b_n)_{n \in \IN}[/mm]
> , [mm](c_n)_{n \in \IN}[/mm] seien konvergent. Beweisen oder
> widerlegen Sie: Dann ist auch [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm]
> konvergent.
Auch hallo!
> ich habe keinen Plan, wie ich das beweisen soll. Meine
> Vorüberlegungen halten sich in Grenzen:
> [mm]a_n[/mm] und [mm]c_n[/mm] haben die gemeinsame Teilfolge [mm]x_{6n}[/mm]
> [mm]b_n[/mm] und [mm]c_n[/mm] haben die gemeinsame Teilfolge [mm]x_{6n+3}[/mm]
> Ist eine Folge konvergent, so sind auch die Teilfolgen
> konvergent.
..., so sind auch alle Teilfolgen konvergent und haben denselben Grenzwert.
> Das war's leider auch schon.
Das reicht aber auch zum Beweis!
Gruß aus HH
Dieter
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Hallo, danke für die Antwort.
Ich bin mir noch etwas unsicher, wie ich den Beweis führen soll.
Wir hatten ja gesagt:
[mm] a_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] haben die gemeinsame Teilfolge [mm] x_{6n} [/mm]
[mm] b_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] haben die gemeinsame Teilfolge [mm] x_{6n+3}
[/mm]
Wenn [mm] a_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] gemeinsame Teilfolgen haben, und [mm] a_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] konvergent sind, dann konvergieren [mm] a_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] gegen den gleichen Grenzwert.
Wenn [mm] b_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] gemeinsame Teilfolgen haben, und [mm] b_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] konvergent sind, dann konvergieren [mm] b_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] gegen den gleichen Wert.
Irgendwie ist das sowas wie ein Kreis. Diese 3 Folgen [mm] a_n [/mm] , [mm] b_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] konvergieren dann gegen den gleichen Wert.
Also es gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_n
[/mm]
Also muss logischerweise auch [mm] x_n [/mm] konvergieren. Wie schreibe ich das mathematisch sauber auf?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mi 25.11.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, danke für die Antwort.
> Ich bin mir noch etwas unsicher, wie ich den Beweis
> führen soll.
ich wiederhole mal die Aufgabe (für mich, sonst verliere ich den Überblick):
Es sei eine Zahlenfolge $ [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] $ gegeben. Die durch $ [mm] a_n [/mm] $ = $ [mm] x_{2n} [/mm] $ , $ [mm] b_n [/mm] $ = $ [mm] x_{2n+1} [/mm] $ und $ [mm] c_n [/mm] $ = $ [mm] x_{3n} [/mm] $ gegebenen Zahlenfolgen $ [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] $ , $ [mm] (b_n)_{n \in \IN} [/mm] $ , $ [mm] (c_n)_{n \in \IN} [/mm] $ seien konvergent. Beweisen oder widerlegen Sie: Dann ist auch $ [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] $ konvergent.
> Wir hatten ja gesagt:
> [mm]a_n[/mm] und [mm]c_n[/mm] haben die gemeinsame Teilfolge [mm]x_{6n}[/mm]
Ich würde Folgen wenigstens mit Klammern schreiben: [mm] $(a_n)$ [/mm] statt [mm] $a_n$. [/mm] Bei
[mm] $a_n$ [/mm] gerät man oft in Versuchung, dass als das n-te Glied der Folge [mm] $(a_n)$
[/mm]
zu lesen (und streng genommen ist es das auch).
Aber ja:
[mm] $(x_{6n})$ [/mm] ist Teilfolge sowohl von [mm] $(a_n)$ [/mm] als auch von [mm] $(c_n)$. [/mm] Beweis?
> [mm]b_n[/mm] und [mm]c_n[/mm] haben die gemeinsame Teilfolge [mm]x_{6n+3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn [mm]a_n[/mm] und [mm]c_n[/mm] gemeinsame Teilfolgen haben, und [mm]a_n[/mm] und
> [mm]c_n[/mm] konvergent sind, dann konvergieren [mm]a_n[/mm] und [mm]c_n[/mm] gegen
> den gleichen Grenzwert.
Ja: Ist [mm] $a_\infty:=\lim_{k \to \infty}a_k$, $b_\infty:=\lim_{k \to \infty}b_k$ [/mm] und [mm] $c_\infty:=\lim_{k \to \infty}c_k$, [/mm] so weißt Du
nun:
[mm] $a_\infty=c_\infty\,.$
[/mm]
> Wenn [mm]b_n[/mm] und [mm]c_n[/mm] gemeinsame Teilfolgen haben, und [mm]b_n[/mm] und
> [mm]c_n[/mm] konvergent sind, dann konvergieren [mm]b_n[/mm] und [mm]c_n[/mm] gegen
> den gleichen Wert.
Also
[mm] $b_\infty=c_\infty\,.$
[/mm]
> Irgendwie ist das sowas wie ein Kreis. Diese 3 Folgen [mm]a_n[/mm] ,
> [mm]b_n[/mm] und [mm]c_n[/mm] konvergieren dann gegen den gleichen Wert.
> Also es gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_n[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} c_n[/mm]
Also
[mm] $a_\infty=b_\infty=c_\infty\,.$
[/mm]
> Also muss logischerweise auch [mm]x_n[/mm] konvergieren. Wie
> schreibe ich das mathematisch sauber auf?
Setzen wir [mm] $x_\infty:=a_\infty$ ($=b_\infty=c_\infty\,$).
[/mm]
Na, erstmal: Ist [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so existieren [mm] $N_a$, $N_b$ [/mm] und [mm] $N_c$ [/mm] (alle hängen
von [mm] $\epsilon$ [/mm] ab) mit
(I) [mm] $|a_n-a_\infty|=|a_n-x_\infty| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_a$,
[/mm]
(II) [mm] $|b_n-b_\infty|=|b_n-x_\infty| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_b$,
[/mm]
(III) [mm] $|c_n-c_\infty|=|c_n-x_\infty| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_c$.
[/mm]
Setze [mm] $N=N(\epsilon):=\max\{N_a,N_b,N_c\}\,.$ [/mm] Dann gelten die Ungleichungen (I) bis (III)
SIMULTAN für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Jetzt machen wir mal eine "Indize-Analyse bzgl. der Teilfolgen von [mm] $(x_n)$":
[/mm]
(1) In [mm] $(x_{2n})$ [/mm] stehen alle geraden natürlichen Zahlen; ich schreibe für
diese Indexmenge [mm] $I_a$, [/mm] um an die Folge [mm] $a=(a_n)$ [/mm] zu erinnern:
[mm] $I_a=\{2k: k \in \IN\}=\{2,4,6,8,10,12,...\}$
[/mm]
(2)
[mm] $I_b=\{2m+1: m \in \IN\}=\{3,5,7,9,11,...\}$
[/mm]
(3)
[mm] $I_c=\{3k: k \in \IN\}=\{3,6,9,12,15,...\}$
[/mm]
Dass [mm] $\{6k: k \in \IN\} \subseteq (I_a \cap I_c)$ [/mm] ist, hast Du schon verwendet. Was
ist denn nun für uns wichtig?
Wichtig ist, dass es ein $M [mm] \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $\{k \in \IN: k \ge M\} \red{\;\subseteq\;}(I_a \cup I_b \cup I_c)$
[/mm]
gibt. (Mach' es Dir einfacher und zeige, dass man so eines sogar schon findet,
wenn man rechts *nur* [mm] $I_a \cup I_b$ [/mm] hätte!)
Ist Dir klar, warum?
Und was würde man machen, wenn für ein solches [mm] $M\,$ [/mm] aber $M > [mm] N\,$ [/mm] gelten
würde?
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Ich habe alles verstanden, außer die letzte Relation
Zitat: Wichtig ist, dass es ein $ M [mm] \in \IN [/mm] $ mit
[mm] \{k \in \IN: k \ge M\} \red{\;\subseteq\;}(I_a \cup I_b \cup I_c) [/mm]
Wieso ist das wichtig? Wofür brauchen wir das ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mi 25.11.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
> Ich habe alles verstanden, außer die letzte Relation
> Zitat: Wichtig ist, dass es ein [mm]M \in \IN[/mm] mit
>
> [mm]\{k \in \IN: k \ge M\} \red{\;\subseteq\;}(I_a \cup I_b \cup I_c)[/mm]
>
> Wieso ist das wichtig? Wofür brauchen wir das ?
naja, was wollen wir sehen? Wir wollen wissen, dass es ein [mm] $\tilde{N}=\tilde{N}(\epsilon)$ [/mm] so
gibt, dass für alle $n [mm] \ge \tilde{N}$
[/mm]
[mm] $|x_n-x_\infty| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
Wenn Du
[mm] $\{k \in \IN: k \ge M\} \red{\;\subseteq\;}(I_a \cup I_b \cup I_c)$
[/mm]
weißt, dann weißt Du, dass jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] M$ auch erfüllt:
$n [mm] \in I_a$ [/mm] oder $n [mm] \in I_b$ [/mm] oder $n [mm] \in I_c$.
[/mm]
Wenigstens eine dieser Aussagen ist wahr (es können auch mehrere sein).
Wenn dann aber sogar noch
$n [mm] \ge \tilde{N}:=\max\{N,M\}$ [/mm] (beachte, dass [mm] $N\,$ [/mm] in der Antwort eben definiert wurde)
ist, dann ist [mm] $|x_n-x_\infty| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] klar.
Ich mache es mal anders: Nehmen wir mal an, Du hättest nur
[mm] $a_n \to a_\infty$
[/mm]
und
[mm] $c_n \to a_\infty$
[/mm]
bewiesen.
Dann hätten wir
[mm] $I_a \cup I_c=\{2,4,6,8,...\} \cup \{3,6,9,12,15,...\}=\{2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,...\}$
[/mm]
Die siehst hier: Es fehlen bspw. Zahlen der Form $5+(k-1)*6$.
Das kann man auch schnell begründen: Diese Zahlen sind ungerade, daher
bleibt bei der Division durch 2 immer der Rest 1.
Der zweite Summand ist durch 3 teilbar, der erste aber nicht - bei Division
von 5 durch 3 bleibt der Rest 2.
Wir nehmen mal an, Du darfst die Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] an diesen Stellen *manipulieren*.
So: Egal, wie die Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] vorher aussieht, Du setzt nun
[mm] $x_{5+(k-1)*6}=x_{2+(k-1)*6}+700$
[/mm]
und schon muss Deine Folge divergieren.
Grob gesagt: Weil [mm] $I_a \cup I_c$ [/mm] eben nicht "alle natürlichen Zahlen bis auf
endliche viele Ausnahmen" abgedeckt hatte, kannst Du nicht
jedes Endstück der Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] nur mit den Teilfolgen [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(c_n)$ [/mm] *abdecken*.
Dass diese beiden gegen denselben Wert konvergieren, reicht also noch
nicht aus, um zu sagen, dass auch [mm] $(x_n)$ [/mm] (gegen diesen Wert) konvergiert.
Das ist der dahinterstehende Gedanke.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Do 26.11.2015 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar, vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Habe den Gedankengang nun verstanden.
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