Folge: Punktweise Konvergenz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Ich habe nur eine kurze Frage zur Definition der punktweisen Konvergenz.
Wir haben folgende Definition:
Eine Folge [mm] (f_n) [/mm] von Funktionen [mm] f_n:M\to\IC [/mm] heißt punktweise konvergent auf M, wenn für jedes [mm] z\in [/mm] M die Folge [mm] (f_n(z)) [/mm] konvergiert.
Das ist mir soweit klar (denke ich  ).
Das heißt doch einfach nur, dass eine Folge punktweise konvergent heißt, wenn die Folge für jeden Punkt des Definitionsbereiches konvergiert, oder?
Frage 1
Muss die Folge [mm] (f_n(z)) [/mm] für jeden Punkt gegen die gleiche Grenzfunktion streben?
Nun habe ich im Buch (nachdem der Prof vorgeht) zu der Definition noch eine Formel gegeben:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(z)=f(z)
[/mm]
Frage 2
Wenn ich das so lese, heißt das für mich eigentlich "der Limes der FUNKTION [mm] f_n(z)" [/mm] statt "der Limes der FUNKTIONSFOLGE [mm] f_n(z)", [/mm] weil wir damals in Analysis I Folgen immer mit einer Klammer drum geschrieben haben.
Das verwirrt mich grad ein bisschen.
Im Grenzwert ist doch schon die Folge gemeint, oder?
Also nach meiner Schreibweise [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f_n(z))=f(z), [/mm] oder?
Danke für eure Hilfe.
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
der punktweise Limes ist letztlich nichts anderes als:
Ich nehme mir ein [mm]z \in D(f_n)[/mm], halte es fest und betrachte die Folge [mm](f_n(z))_{n\in\IN}[/mm] und nenne den Grenzwert nicht f, sondern f(z), da der Grenzwert ja von meinem gewählten z abhängt.
Die Funktion, die mir nun zu jedem [mm]z \in D(f_n)[/mm] den Grenzwert f(z) liefert, nennt man "Grenzfunktion".
> Das heißt doch einfach nur, dass eine Folge punktweise
> konvergent heißt, wenn die Folge für jeden Punkt des
> Definitionsbereiches konvergiert, oder?
Genau das
>
> Frage 1
> Muss die Folge [mm](f_n(z))[/mm] für jeden Punkt gegen die gleiche
> Grenzfunktion streben?
Letztlich gibts darauf nur die Antwort "Ja", denn die Grenzfunktion ist ja gerade so definiert, dass [mm](f_n(z))_{n\in\IN}[/mm] gegen die Grenzfunktion strebt.
Wenn du meinst, ob der Grenzwert f(z) für jedes z immer gleich sein muss, lautet die Antwort "Nein". Betrachte dazu doch einfach mal:
[mm]f_n(z) = \frac{nz}{1+nz}, z\in [0,\infty)[/mm]
> Nun habe ich im Buch (nachdem der Prof vorgeht) zu der
> Definition noch eine Formel gegeben:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(z)=f(z)[/mm]
>
> Frage 2
> Wenn ich das so lese, heißt das für mich eigentlich "der
> Limes der FUNKTION [mm]f_n(z)"[/mm] statt "der Limes der
> FUNKTIONSFOLGE [mm]f_n(z)",[/mm] weil wir damals in Analysis I
> Folgen immer mit einer Klammer drum geschrieben haben.
> Das verwirrt mich grad ein bisschen.
> Im Grenzwert ist doch schon die Folge gemeint, oder?
> Also nach meiner Schreibweise
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(f_n(z))=f(z),[/mm] oder?
Ja, es ist die Folge in n, also wie oben schon geschrieben[mm](f_n(z))_{n\in\IN}[/mm]
In der Grenzwertbetrachtung lässt man die Klammern eigentlich weg, insofern war Analysis I bei dir anscheinend etwas unorthodox 
Man schreibt ja auch [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}[/mm] und nicht [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n})[/mm]
Liebe Grüße,
Gono.
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