Folge angeben < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Sei [mm] (x_{n}) [/mm] die Folge der natürlichen Zahlen, die bei Divison durch 7 den Rest 2 ergeben, der größe aufsteigend nach geordnet.
1. Geben Sie die ersten 5 Glieder der Folge an.
2. Geben Sie eine explizite Formel der Folge an [mm] (x_{n}=.... [/mm] für alle n)
3. Geben Sie eine rekursive Formel der Folge an. |
Hallo,
Meine Lösung;
1.
[mm] x_{n}=2, [/mm] 9, 16, 23, 30, ...
2.
Hier war meine Idee etwas wie folgt anzugeben:
[mm] x_{n}= (n\equiv2 [/mm] (mod 7))
Was ja aber denke ich falsch ist oder?
|
|
| |
|
> Sei [mm](x_{n})[/mm] die Folge der natürlichen Zahlen, die bei
> Divison durch 7 den Rest 2 ergeben, der größe aufsteigend
> nach geordnet.
>
> 1. Geben Sie die ersten 5 Glieder der Folge an.
> 2. Geben Sie eine explizite Formel der Folge an
> [mm](x_{n}=....[/mm] für alle n)
> 3. Geben Sie eine rekursive Formel der Folge an.
> Hallo,
>
> Meine Lösung;
>
> 1.
> [mm]x_{n}=2,[/mm] 9, 16, 23, 30, ...
>
Eher
[mm] $(x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,\ldots)=(2,9,16,23,30,\ldots)$
[/mm]
[mm] $x_n\in \IN$!
[/mm]
>
> 2.
> Hier war meine Idee etwas wie folgt anzugeben:
>
> [mm]x_{n}= (n\equiv2[/mm] (mod 7))
>
> Was ja aber denke ich falsch ist oder?
Zumindest ist das komisch. Man könnte höchstens mit viel Fantasie noch [mm] $x_n\equiv [/mm] 2 [mm] \mod [/mm] 7$ daraus ablesen, was grundsätzlich zwar keine falsche Aussage ist. Jedoch sind die Folgenglieder eindeutig bestimmt.
Probier doch erst einmal die 3. Aufgabe:
[mm]x_0=2[/mm]
[mm]x_1=9[/mm] -> [mm]x_1 = x_0 +\ldots[/mm]
[mm]x_2=16[/mm] -> [mm]x_2 = \ldots[/mm]
[mm]x_3=23[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo wieschoo,
Danke für deine Antwort.
> Probier doch erst einmal die 3. Aufgabe:
> [mm]x_0=2[/mm]
> [mm]x_1=9[/mm] -> [mm]x_1 = x_0 +\ldots[/mm]
> [mm]x_2=16[/mm] -> [mm]x_2 = \ldots[/mm]
>
> [mm]x_3=23[/mm]
Ahhh ok, jetzt habe ich es ;)
3. (Rekursiv):
[mm] x_1=2 [/mm] (Muss der Index bei Folgen nicht bei 1 anfangen?)
[mm] x_{n+1}=x_n+7
[/mm]
2. (explizit):
[mm] x_n=n*7+2
[/mm]
Müsste jetzt stimmen oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo wieschoo,
>
> Danke für deine Antwort.
>
>
> > Probier doch erst einmal die 3. Aufgabe:
> > [mm]x_0=2[/mm]
> > [mm]x_1=9[/mm] -> [mm]x_1 = x_0 +\ldots[/mm]
> > [mm]x_2=16[/mm] -> [mm]x_2 = \ldots[/mm]
>
> >
> > [mm]x_3=23[/mm]
>
> Ahhh ok, jetzt habe ich es ;)
>
> 3. (Rekursiv):
>
> [mm]x_1=2[/mm] (Muss der Index bei Folgen nicht bei 1 anfangen?)
der Index kann prinzipiell eigentlich anfangen, wo er will (er sollte aber
ganzzahlig sein).
Wenn ihr aber Folgen als [mm] $(x_n)_{n=1}^\infty$ [/mm] oder [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm]
notiert, wäre es natürlich schöner, sich auch daran zu halten. Aber
prinzipiell ist auch
[mm] $$(a_n)_{n=-3}^\infty$$
[/mm]
also Folge anzusehen - manche Autoren definieren das halt auch generell
so, dass mit einem [mm] $z_0 \in \IZ$ [/mm] für eine Funktion
[mm] $$\tilde{a}: \{z \in \IZ:\;\;z \ge z_0\} \to [/mm] M$$
dann [mm] $(a_n)_{n=z_0}^\infty$ [/mm] mit [mm] $a_n:=\tilde{a}(n)$ [/mm] (für jedes ganze
$n [mm] \ge z_0$) [/mm] eine [mm] ($M\,$-wertige) [/mm] Folge heißt.
Aber generell lernt man jauch - ne, nicht der aus'm fernsehen, ich meinte eigentlich nur "ja auch" ! - sowas wie "Indexshift", in dem Sinne ist das dann auch irgendwie "egal", wie die Definitionen genauer aussehen.
(Soll heißen, wenn es nicht explizit dazugesagt wird, soll der
Aufgabenbearbeiter selber versuchen, die Begriffe richtig zu deuten.
Genauso wie man erwartet, dass, wenn Folgen mit Abbildungen [mm] $\IN \to [/mm] M$
definiert werden, es dennoch klar ist, wie dann eine Folge mit einer
Abbildung [mm] $\IN_0 \to [/mm] M$ zu verstehen ist.)
> [mm]x_{n+1}=x_n+7[/mm]
Für jedes natürliche $n > [mm] 1\,.$
[/mm]
>
> 2. (explizit):
>
> [mm]x_n=n*7+2[/mm]
Dazuschreiben: Für welche [mm] $n\,$?
[/mm]
>
> Müsste jetzt stimmen oder?
Fast: Bei der expliziten Darstellung ist doch [mm] $x_1=9\,,$ [/mm] aber bei der
impliziten [mm] $x_1=2\,.$ [/mm] Aber das bekommste sicher repariert. 
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo marcel,
danke für deine Antwort.
Nochmals verbessert:
2. (explizit)
[mm] x_n=n*7+2 [/mm] für alle [mm] n\in\IN_{0}
[/mm]
3. (rekursiv)
[mm] x_0=2
[/mm]
[mm] x_{n+1}=x_n+2 [/mm] für alle [mm] n\in\IN_{0}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo marcel,
>
> danke für deine Antwort.
>
> Nochmals verbessert:
>
> 2. (explizit)
>
> [mm]x_n=n*7+2[/mm] für alle [mm]n\in\IN_{0}[/mm]
>
>
>
>
> 3. (rekursiv)
>
> [mm]x_0=2[/mm]
>
> [mm]x_{n+1}=x_n+\red{2}[/mm] für alle [mm]n\in\IN_{0}[/mm]
>
so passt's - ich nehm' mal zu Deinen Gunsten an, dass [mm] $\red{2}$ [/mm]
eigentlich eine 7 meint (hattest Du ja vorher richtig).
[mm] $\text{(}$Alternativ, [/mm] wenn ihr Folgen als [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] (mit $0 [mm] \notin \IN$) [/mm]
schreibt:
Explizit
[mm] $$x_n:=2+(n-1)*7 \text{ für alle }n \in \IN$$
[/mm]
Rekursiv:
[mm] $$x_1:=2$$
[/mm]
und
[mm] $$x_{n+1}:=x_n+7 \text{ für alle }n \in \IN\text{)}$$
[/mm]
P.S.
Kannst Du übrigens zeigen, dass beide Formeln äquivalent sind? D.h. dass
aus der rekursiven Definition die explizite Darstellung folgt, und dass
umgekehrt auch aus der expliziten Darstellung die rekursive Formel folgt?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo,
Danke dir nochmals ;)
> Kannst Du übrigens zeigen, dass beide Formeln äquivalent
> sind? D.h. dass
> aus der rekursiven Definition die explizite Darstellung
> folgt, und dass
> umgekehrt auch aus der expliziten Darstellung die rekursive
> Formel folgt?
Nein, da wüsste ich jetzt nicht spontan wie ich das zeigen könnte.
Sowas haben wir aber auch nicht gemacht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Danke dir nochmals ;)
>
>
> > Kannst Du übrigens zeigen, dass beide Formeln äquivalent
> > sind? D.h. dass
> > aus der rekursiven Definition die explizite Darstellung
> > folgt, und dass
> > umgekehrt auch aus der expliziten Darstellung die rekursive
> > Formel folgt?
>
> Nein, da wüsste ich jetzt nicht spontan wie ich das zeigen
> könnte.
> Sowas haben wir aber auch nicht gemacht...
ich zeig's Dir trotzdem mal (außerdem heißt letzteres ja nicht, dass man
warten muss, bis ihr es macht!):
1. Gelte [mm] $x_1=2\,$ [/mm] und [mm] $x_{n+1}:=x_n+7$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Behauptung: Dann ist [mm] $x_n=2+(n-1)*7$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Beweis:
Wir führen einen Induktionsbeweis:
Für [mm] $n=1\,$ [/mm] ist offenbar [mm] $x_1=2=2+(1-1)*7\,.$
[/mm]
$n [mm] \to [/mm] n+1$:
Nach Annahme gilt [mm] $x_n=2+(n-1)*7\,.$ [/mm] Wegen der rekursiven Definition
folgt damit
[mm] $$x_{n+1}=x_n+7=2+(n-1)*7+7=2+n*7=2+((n+1)-1)*7\,.$$
[/mm]
Also folgt aus der rekursiven Definition die explizite Darstellung.
2. Umgekehrt:
Gelte nun [mm] $x_n=2+(n-1)*7$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Dann ist offenbar [mm] $x_1=2+(1-1)*7=2\,,$ [/mm] und weiter ist für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
[mm] $$x_{n+1}-x_n=2+(n+1)*7-(2+n*7)=7\,,$$
[/mm]
also [mm] $x_{n+1}=x_n+7\,.$
[/mm]
Also liefert die explizite Darstellung die Rekursionsformel!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Jack159 |
Danke für den exklusiven Einblick ;)
|
|
|
|
