Folge auf Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:43 Mo 24.11.2008 | | Autor: | anna88 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie für jede der Folgen [mm] (x_{k})_{k\in\IN\backslash\{0\}} [/mm] die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} x_{k} [/mm] auf Konvegenz.
a) [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{3^{k}k+1}{k^{2}+1}
[/mm]
b) [mm] b_{k} [/mm] = [mm] \bruch{2+(-1)^{k}}{4k}
[/mm]
c) [mm] c_{k} [/mm] = [mm] \bruch{(2k)!}{3^{k}(k!)^{2}}
[/mm]
d) [mm] d_{k} [/mm] = [mm] (-1)^{k} [/mm] [e - (1+ [mm] \bruch{1}{k})^{k}] [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Könnt ihr mir bitte helfen.
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Hallo anna88,
wie sieht's mit eigenen Ansätzen aus? s. Forenregeln.
Welche Konvergenzkriterien für Reihen kennst du?
Wie ist das mit dem Trivialkriterium --> scharfer Blick auf (a) ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 Sa 29.11.2008 | | Autor: | anna88 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{3} +3 k^{2} + 2k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] |
Also hab z.b. bei der c) überlegt, dass ich das Quotientenkriterium anwenden muss: [mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|
[/mm]
= [mm] \bruch{(2k+1)!}{3^{k+1 }((k+1)!)^{2}}
[/mm]
stimmt das schon mal bis hier hin??
Muss ich das dann noch weiter auflösen?? wenn ja wie funktioniert das denn so richtig?? kann mir jemand bitte helfen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Anna!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, das sieht nicht richtig aus. Du musst hier schon korrekt für $a_{k+1}$ bzw. $a_k$ einsetzen:
$$\left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right| \ = \ \left|\bruch{\bruch{[2*(k+1)]!}{3^{k+1}*[(k+1)!]^2}}{\bruch{(2*k)!}{3^k*(k!)^2}\right| \ = \ ...$$
Nun die Fakultäten etwas zerlegen und kürzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Sa 29.11.2008 | | Autor: | anna88 |
Wenn ich dann weiter rechne bekomm ich das hier raus:
[mm] \vmat{ \bruch{2!}{3^{k+1}\* 1! + 3^{k}} }
[/mm]
stimmt das denn???
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Hallo anna88,
nein, das stimmt nicht, rechne doch mal vor ...
Bedenke folgendes bei der Rechnung:
(1) [mm] $(2k+2)!=(2k+2)\cdot{}(2k+1)\cdot{}(2k)!$
[/mm]
(2) [mm] $3^{k+1}=3\cdot{}3^k$
[/mm]
(3) [mm] $\left[(k+1)!\right]^2=\left[(k+1)\cdot{}k!\right]^2=(k+1)^2\cdot{}(k!)^2$
[/mm]
Damit sollte sich doch so einiges rauskürzen.
Denke auch daran, dass du ja den [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}$ [/mm] dieses Quotienten oben bestimmen musst ...
Versuch's also noch mal und poste bitte deine Rechnung dazu!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:18 So 30.11.2008 | | Autor: | anna88 |
also ich bekomme da raus:
= [mm] \bruch{4k^{2} + 4k + 2}{k^{2} + 1}
[/mm]
dann:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{4k^{2} + 4k + 2}{k^{2} + 1} \to \infty
[/mm]
stimmt das?
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Hallo Anna,
> also ich bekomme da raus:
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> = [mm]\bruch{4k^{2} + 4k + 2}{k^{2} + 1}[/mm]
nicht ganz, wenn ich [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] einsetze und nach den Angaben oben umforme, kürzt sich alles raus bis auf [mm] $...=\frac{(2k+1)(2k+2)}{3(k+1)^2}=\frac{4k^2+6k+2}{3k^2+6k+3}$
[/mm]
Und das strebt für [mm] $k\to\infty$ [/mm] natürlich gegen [mm] $\frac{4}{3} [/mm] \ > \ 1$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Divergenz der Reihe nach QK
>
> dann:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{4k^{2} + 4k + 2}{k^{2} + 1} \to \infty[/mm]
Quatsch! Wogegen strebt das? Denk' mal ne Sekunde drüber nach 
[mm] ($k^2$ [/mm] in Zähler und Nenner ausklammern, kürzen und dann [mm] $k\to\infty$)
[/mm]
>
> stimmt das?
Fast Aber vom Ergebnis (Reihe divergent) passt es
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
> Zeigen Sie: [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{3} +3 k^{2} + 2k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
Für diese Aufgabe musst Du eine  Partialbruchzerlegung durchführen:
[mm] $$\bruch{1}{k^{3} +3 k^{2} + 2k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k*(k+1)*(k+2)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{k}+\bruch{B}{k+1}+\bruch{C}{k+2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Sa 29.11.2008 | | Autor: | anna88 |
Bei der a) muss ich doch für k=1 einsetzen dann bekomm ich:
= [mm] \bruch{3^{1}\*1+1}{1^{2}+1} [/mm] = [mm] \bruch{4}{2} [/mm] = 2
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] a_{k} [/mm] = 2 oder wie??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Das stimmt so nicht. Warum willst Du gerade $k \ = \ 1$ einsetzen (und nicht z.B. $k \ = \ 47511$ )?
Du musst hier für [mm] $\bruch{3^k*k+1}{k^2+1}$ [/mm] den Grenzwert für [mm] $k\rightarrow\infty$ [/mm] ermitteln.
Ist [mm] $\bruch{3^k*k+1}{k^2+1}$ [/mm] eine Nullfolge?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 So 30.11.2008 | | Autor: | anna88 |
zur b) hab ich jetzt folgendes gemacht. Ich habe erst die Folge erst aufgespaltet und dann das Minorantenkriterium verwendet. somit hab ich das hier raus:
= [mm] \bruch{2}{4} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^{k}}{k}
[/mm]
= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^{k}}{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} b_{k} \not= [/mm] 0, wobei [mm] \bruch{2}{4} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^{k}}{k} \Rightarrow [/mm] konvergiert nicht
stimmt das so???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:12 Mo 01.12.2008 | | Autor: | anna88 |
stimmt das ???
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> zur b) hab ich jetzt folgendes gemacht. Ich habe erst die
> Folge erst aufgespaltet und dann das Minorantenkriterium
> verwendet. somit hab ich das hier raus:
>
> = [mm]\bruch{2}{4}[/mm] + [mm]\bruch{(-1)^{k}}{k}[/mm]
Ach Du liebe Zeit!
Das ist sowas von grottenfalsch, und das hat zunächst erstmal nichts mit Konvergenz zu tun, sondern schlicht und ergreifend mit Bruchrechnung.
Gruß v. Angela
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