Folge gegen Operatornorm < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Sa 30.07.2011 | | Autor: | hula |
Moinmoin,
Ich habe eine Frage über die Existenz einer Folge: Sei $\ h [mm] \in X^\* [/mm] $ wobei $\ [mm] X^\* [/mm] $ der Dualraum eines Banachraumes $\ X $ bezeichnet. $\ h $ ist also eine stetige lineare Abbildung von $\ X$ nach $\ [mm] \IR [/mm] $.
Aufgrund der Homogenität darf ich ja annehmen, dass $\ [mm] \parallel [/mm] h [mm] \parallel_{X^\*} [/mm] = 1$. Nun zu meiner Frage:
1. Aufgrund der Definition der Operatornorm über das Supremum, kann ich ja eine Folge von Elementen aus meinem Banachraum wählen:
[mm] (x_n)_{n\in \IN} : h(x_n) \to \parallel h \parallel_{X^\*} [/mm].
Ist dies Argumentation soweit richtig? Im reellen kann ich ja immer eine Folge wählen, die gegen das Supremum konvergiert.
2. Wieso darf ich die Folge so wählen, dass $\ [mm] \parallel x_n \parallel_X [/mm] = 1 $. Wenn ich jedes Folgeglied normiere, konvergiert dies doch nicht mehr gegen $\ [mm] \parallel [/mm] h [mm] \parallel_{X^\*} [/mm] $.
Danke für die Antwort!
greetz
hula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Sa 30.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Moinmoin,
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> Ich habe eine Frage über die Existenz einer Folge: Sei [mm]\ h \in X^\*[/mm]
> wobei [mm]\ X^\*[/mm] der Dualraum eines Banachraumes [mm]\ X[/mm]
> bezeichnet. [mm]\ h[/mm] ist also eine stetige lineare Abbildung von
> [mm]\ X[/mm] nach [mm]\ \IR [/mm].
> Aufgrund der Homogenität darf ich ja annehmen, dass [mm]\ \parallel h \parallel_{X^\*} = 1[/mm].
> Nun zu meiner Frage:
>
> 1. Aufgrund der Definition der Operatornorm über das
> Supremum, kann ich ja eine Folge von Elementen aus meinem
> Banachraum wählen:
>
> [mm](x_n)_{n\in \IN} : h(x_n) \to \parallel h \parallel_{X^\*} [/mm].
Nicht ganz. Es gibt eine Folge [mm] (x_n) [/mm] mit:
[mm] ||x_n||=1 [/mm] und [mm] |h(x_n)|\to \parallel [/mm] h [mm] \parallel_{X^\*}
[/mm]
>
> Ist dies Argumentation soweit richtig? Im reellen kann ich
> ja immer eine Folge wählen, die gegen das Supremum
> konvergiert.
>
> 2. Wieso darf ich die Folge so wählen, dass [mm]\ \parallel x_n \parallel_X = 1 [/mm].
Schau Dir die Def. von [mm] \parallel [/mm] h [mm] \parallel_{X^\*} [/mm] an
FRED
> Wenn ich jedes Folgeglied normiere, konvergiert dies doch
> nicht mehr gegen [mm]\ \parallel h \parallel_{X^\*} [/mm].
>
> Danke für die Antwort!
>
> greetz
>
> hula
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Sa 30.07.2011 | | Autor: | hula |
hallo fred
Einmal mehr, danke für die schnelle Antwort! Den Betrag habe ich vergessen, entschuldige!
Bei 2. weiss ich wohl worauf du hinaus willst. Die Norm ist ja gerade definiert über alle $\ [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_X [/mm] = 1$. Wieso erweitert man dann (in der Definition) dies auf $\ [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_X \le [/mm] 1 $, wenn das Supremum sowieso für ein $\ x $ mit Norm 1 angenommen wird?
greetz
hula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 So 31.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> hallo fred
>
> Einmal mehr, danke für die schnelle Antwort! Den Betrag
> habe ich vergessen, entschuldige!
>
> Bei 2. weiss ich wohl worauf du hinaus willst. Die Norm ist
> ja gerade definiert über alle [mm]\ \parallel x \parallel_X = 1[/mm].
> Wieso erweitert man dann (in der Definition) dies auf [mm]\ \parallel x \parallel_X \le 1 [/mm],
> wenn das Supremum sowieso für ein [mm]\ x[/mm] mit Norm 1
> angenommen wird?
Im Allgemeinen wird das Supremum nicht angenommen !!
FRED
>
> greetz
>
> hula
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 So 31.07.2011 | | Autor: | hula |
hallo fred,
Entschuldige meine Frage, aber so ganz sehe ich noch keine Motivation in der Definition. Resp. wieso erweitert man diese zu $\ [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel \le [/mm] 1 $ ? Gibt's dafür einen Grund? Wenn du dies bereits beantwortet haben solltest, entschuldige meine neuerliche Frage. Dann verstehe ich dies aber wohl nicht.
greetz
hula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Mi 03.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin hula
> Entschuldige meine Frage, aber so ganz sehe ich noch keine
> Motivation in der Definition. Resp. wieso erweitert man
> diese zu [mm]\ \parallel x \parallel \le 1[/mm] ? Gibt's dafür
> einen Grund? Wenn du dies bereits beantwortet haben
> solltest, entschuldige meine neuerliche Frage. Dann
> verstehe ich dies aber wohl nicht.
Ich glaube, da gibt es keinen wirklichen Grund. Manche Leute bevorzugen halt die Version mit $= 1$, die anderen die mit [mm] $\le [/mm] 1$.
Ein Argument fuer [mm] $\le [/mm] 1$ ist, dass man bei der Stetigkeit ja moechte, dass das Einheitsball (also alle $x$ mit [mm] $\| [/mm] x [mm] \| \le [/mm] 1$) auf etwas beschraenktes abgebildet wird. Und wenn man die Kugeloberflaeche lieber mag, tendiert man eventuell eher zu $= 1$ 
LG Felix
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