Folge ist Cauchy-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Do 27.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | | Es sei [mm] a_n=\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}. [/mm] Man zeige, dass [mm] \{a_n\} [/mm] Cauchy-Folge in [mm] \IQ [/mm] ist. |
Hallo, das ist meine erste Anwendungsaufgabe zu Cauchy-Folgen, ich bin mir deswegen nicht ganz sicher wegen der üblichen Vorgehensweise.
Zu zeigen ist: Zu jedem [mm] \varepsilon>0, \varepsilon\in\IQ [/mm] existiert ein [mm] N_\varepsilon\in\IN, [/mm] sodass für alle [mm] n,m>N_\varepsilon [/mm] gilt: [mm] |\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|<\varepsilon.
[/mm]
Wegen des Betrages kann ich nun ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $n>m$. Dann folgt: [mm] |\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|=|\sum_{\nu=m+1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|
[/mm]
Und ab dieser Stelle bin ich sehr einfallslos. Muss ich den Term aufteilen in positive und negative Summanden? Wie kann ich ihn umformen, um Gebrauch von [mm] N_\varepsilon [/mm] zu machen?
Über einige Denkanstöße würde ich mich sehr freuen.
Viele Grüße und Vielen Dank an alle
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Hallo,
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> Zu zeigen ist: Zu jedem [mm]\varepsilon>0, \varepsilon\in\IQ[/mm]
> existiert ein [mm]N_\varepsilon\in\IN,[/mm] sodass für alle
> [mm]n,m>N_\varepsilon[/mm] gilt:
> [mm]|\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|<\varepsilon.[/mm]
Ist dies auch Teil der Aufgabenstellung, oder ist dies dein Ansatz ?
Was mir spontan so spontan einfällt wäre der Satz "Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge", damit wäre nur Konvergenz zu zeigen.
>
> Wegen des Betrages kann ich nun ohne Beschränkung der
> Allgemeinheit annehmen, dass [mm]n>m[/mm]. Dann folgt:
> [mm]|\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|=|\sum_{\nu=m+1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|[/mm]
>
> Und ab dieser Stelle bin ich sehr einfallslos. Muss ich den
> Term aufteilen in positive und negative Summanden? Wie kann
> ich ihn umformen, um Gebrauch von [mm]N_\varepsilon[/mm] zu machen?
>
> Über einige Denkanstöße würde ich mich sehr freuen.
>
> Viele Grüße und Vielen Dank an alle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Do 27.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hallo,
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> >
> > Zu zeigen ist: Zu jedem [mm]\varepsilon>0, \varepsilon\in\IQ[/mm]
> > existiert ein [mm]N_\varepsilon\in\IN,[/mm] sodass für alle
> > [mm]n,m>N_\varepsilon[/mm] gilt:
> >
> [mm]|\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|<\varepsilon.[/mm]
>
> Ist dies auch Teil der Aufgabenstellung, oder ist dies dein
> Ansatz ?
Wenn man das schon Ansatz nennen möchte, ist er das wohl.
> Was mir spontan so spontan einfällt wäre der Satz "Jede
> konvergente Folge ist eine Cauchyfolge", damit wäre nur
> Konvergenz zu zeigen.
Mir sieht es sehr stark danach aus, dass die Folge in [mm] \IR, [/mm] nicht aber in [mm] \IQ [/mm] konvergiert, da [mm] \IQ [/mm] kein vollständiger Körper ist. Ich könnte natürlich Konvergenz in [mm] \IR [/mm] nachweisen und dann darauf schließen, dass die Folge Cauchy-Folge in [mm] \IQ [/mm] sein muss, allerdings beschäftige ich mich mit den Cauchy-Folgen, um überhaupt erst den Körper der reellen Zahlen konstruieren zu können. Außerdem ginge eine solche Lösung vermutlich an der Intention des Aufgabenstellers vorbei.
> >
> > Wegen des Betrages kann ich nun ohne Beschränkung der
> > Allgemeinheit annehmen, dass [mm]n>m[/mm]. Dann folgt:
> >
> [mm]|\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|=|\sum_{\nu=m+1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|[/mm]
> >
> > Und ab dieser Stelle bin ich sehr einfallslos. Muss ich den
> > Term aufteilen in positive und negative Summanden? Wie kann
> > ich ihn umformen, um Gebrauch von [mm]N_\varepsilon[/mm] zu machen?
> >
> > Über einige Denkanstöße würde ich mich sehr freuen.
> >
> > Viele Grüße und Vielen Dank an alle
>
Vielen Dank noch einmal für die Gedanken zu meinem Problem.
Liebe Grüße
P.S.: Ich habe kaum Sätze zu Cauchy-Folgen gegeben, nur, dass in angeordneten Körpern alle konvergenten Folgen Cauchy-Folgen sind. Aus diesem Grund wäre ich vor allem an einer Lösung direkt über die Definition von Cauchy-Folgen interessiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Do 27.09.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Was mir spontan so spontan einfällt wäre der Satz "Jede
> konvergente Folge ist eine Cauchyfolge", damit wäre nur
> Konvergenz zu zeigen.
Die Folge ist in [mm] $\IQ$ [/mm] nicht konvergent.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Do 27.09.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]a_n=\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}.[/mm] Man
> zeige, dass [mm]\{a_n\}[/mm] Cauchy-Folge in [mm]\IQ[/mm] ist.
> Hallo, das ist meine erste Anwendungsaufgabe zu
> Cauchy-Folgen, ich bin mir deswegen nicht ganz sicher wegen
> der üblichen Vorgehensweise.
>
> Zu zeigen ist: Zu jedem [mm]\varepsilon>0, \varepsilon\in\IQ[/mm]
> existiert ein [mm]N_\varepsilon\in\IN,[/mm] sodass für alle
> [mm]n,m>N_\varepsilon[/mm] gilt:
> [mm]|\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|<\varepsilon.[/mm]
>
> Wegen des Betrages kann ich nun ohne Beschränkung der
> Allgemeinheit annehmen, dass [mm]n>m[/mm]. Dann folgt:
> [mm]|\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|=|\sum_{\nu=m+1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|[/mm]
>
> Und ab dieser Stelle bin ich sehr einfallslos. Muss ich den
> Term aufteilen in positive und negative Summanden? Wie kann
> ich ihn umformen, um Gebrauch von [mm]N_\varepsilon[/mm] zu machen?
>
> Über einige Denkanstöße würde ich mich sehr freuen.
Du kannst die Terme deiner Summe paarweise zusammenfassen. Wenn m ungerade ist, so gilt
[mm] \sum_{\nu=m+1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu} = (-1)^{m+2}\left(\bruch{1}{m+1} - \left(\bruch{1}{m+2}-\bruch{1}{m+3}\right) - \left(\bruch{1}{m+4}-\bruch{1}{m+4}\right) + \dots\right) [/mm]
[mm] = \bruch{1}{m+1} - \left(\bruch{1}{m+2}-\bruch{1}{m+3}\right) - \left(\bruch{1}{m+4}-\bruch{1}{m+5}\right) + \dots[/mm].
Nun ist jede der inneren Klammern negativ und daher
[mm] \bruch{1}{m+1} - \left(\bruch{1}{m+2}-\bruch{1}{m+3}\right) - \left(\bruch{1}{m+4}-\bruch{1}{m+5}\right) + \dots < \bruch{1}{m+1} < \bruch{1}{m} [/mm] .
Für gerade m zeigst du analog, dass die Summe $> [mm] -\bruch{1}{m} [/mm] $ ist.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Do 27.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
> Hallo!
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> > Es sei [mm]a_n=\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}.[/mm] Man
> > zeige, dass [mm]\{a_n\}[/mm] Cauchy-Folge in [mm]\IQ[/mm] ist.
> > Hallo, das ist meine erste Anwendungsaufgabe zu
> > Cauchy-Folgen, ich bin mir deswegen nicht ganz sicher wegen
> > der üblichen Vorgehensweise.
> >
> > Zu zeigen ist: Zu jedem [mm]\varepsilon>0, \varepsilon\in\IQ[/mm]
> > existiert ein [mm]N_\varepsilon\in\IN,[/mm] sodass für alle
> > [mm]n,m>N_\varepsilon[/mm] gilt:
> >
> [mm]|\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|<\varepsilon.[/mm]
> >
> > Wegen des Betrages kann ich nun ohne Beschränkung der
> > Allgemeinheit annehmen, dass [mm]n>m[/mm]. Dann folgt:
> >
> [mm]|\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|=|\sum_{\nu=m+1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|[/mm]
> >
> > Und ab dieser Stelle bin ich sehr einfallslos. Muss ich den
> > Term aufteilen in positive und negative Summanden? Wie kann
> > ich ihn umformen, um Gebrauch von [mm]N_\varepsilon[/mm] zu machen?
> >
> > Über einige Denkanstöße würde ich mich sehr freuen.
>
> Du kannst die Terme deiner Summe paarweise zusammenfassen.
> Wenn m ungerade ist, so gilt
>
> [mm]\sum_{\nu=m+1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu} = (-1)^{m+2}\left(\bruch{1}{m+1} - \left(\bruch{1}{m+2}-\bruch{1}{m+3}\right) - \left(\bruch{1}{m+4}-\bruch{1}{m+4}\right) + \dots\right)[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{m+1} - \left(\bruch{1}{m+2}-\bruch{1}{m+3}\right) - \left(\bruch{1}{m+4}-\bruch{1}{m+5}\right) + \dots[/mm].
Übersehe ich irgendetwas oder muss ganz vorne auch noch ein minus stehen? Es kann gut sein, dass ich gerade einfach ein fettes Brett vorm Kopf habe, aber je länger ich darauf gucke, desto weniger Sinn macht es für mich...
> Nun ist jede der inneren Klammern negativ und daher
>
> [mm]\bruch{1}{m+1} - \left(\bruch{1}{m+2}-\bruch{1}{m+3}\right) - \left(\bruch{1}{m+4}-\bruch{1}{m+5}\right) + \dots < \bruch{1}{m+1} < \bruch{1}{m}[/mm]
> .
>
> Für gerade m zeigst du analog, dass die Summe [mm]> -\bruch{1}{m}[/mm]
> ist.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Viele Grüße
Edit: Moment, jetzt muss ich doch noch einmal kurz nachdenken
Edit: Ich hab ja noch die Betragsstriche drumrum, also kann mir das Vorzeichen egal sein, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Fr 28.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Hallo!
> >
> > > Es sei [mm]a_n=\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}.[/mm] Man
> > > zeige, dass [mm]\{a_n\}[/mm] Cauchy-Folge in [mm]\IQ[/mm] ist.
> > > Hallo, das ist meine erste Anwendungsaufgabe zu
> > > Cauchy-Folgen, ich bin mir deswegen nicht ganz sicher wegen
> > > der üblichen Vorgehensweise.
> > >
> > > Zu zeigen ist: Zu jedem [mm]\varepsilon>0, \varepsilon\in\IQ[/mm]
> > > existiert ein [mm]N_\varepsilon\in\IN,[/mm] sodass für alle
> > > [mm]n,m>N_\varepsilon[/mm] gilt:
> > >
> >
> [mm]|\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|<\varepsilon.[/mm]
> > >
> > > Wegen des Betrages kann ich nun ohne Beschränkung der
> > > Allgemeinheit annehmen, dass [mm]n>m[/mm]. Dann folgt:
> > >
> >
> [mm]|\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|=|\sum_{\nu=m+1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|[/mm]
> > >
> > > Und ab dieser Stelle bin ich sehr einfallslos. Muss ich den
> > > Term aufteilen in positive und negative Summanden? Wie kann
> > > ich ihn umformen, um Gebrauch von [mm]N_\varepsilon[/mm] zu machen?
> > >
> > > Über einige Denkanstöße würde ich mich sehr freuen.
> >
> > Du kannst die Terme deiner Summe paarweise zusammenfassen.
> > Wenn m ungerade ist, so gilt
> >
> > [mm]\sum_{\nu=m+1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu} = (-1)^{m+2}\left(\bruch{1}{m+1} - \left(\bruch{1}{m+2}-\bruch{1}{m+3}\right) - \left(\bruch{1}{m+4}-\bruch{1}{m+4}\right) + \dots\right)[/mm]
>
> >
> > [mm]= \bruch{1}{m+1} - \left(\bruch{1}{m+2}-\bruch{1}{m+3}\right) - \left(\bruch{1}{m+4}-\bruch{1}{m+5}\right) + \dots[/mm].
>
> Übersehe ich irgendetwas oder muss ganz vorne auch noch
> ein minus stehen? Es kann gut sein, dass ich gerade einfach
> ein fettes Brett vorm Kopf habe, aber je länger ich darauf
> gucke, desto weniger Sinn macht es für mich...
> > Nun ist jede der inneren Klammern negativ und daher
> >
> > [mm]\bruch{1}{m+1} - \left(\bruch{1}{m+2}-\bruch{1}{m+3}\right) - \left(\bruch{1}{m+4}-\bruch{1}{m+5}\right) + \dots < \bruch{1}{m+1} < \bruch{1}{m}[/mm]
> > .
> >
> > Für gerade m zeigst du analog, dass die Summe [mm]> -\bruch{1}{m}[/mm]
> > ist.
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
> Viele Grüße
>
> Edit: Moment, jetzt muss ich doch noch einmal kurz
> nachdenken
> Edit: Ich hab ja noch die Betragsstriche drumrum, also
> kann mir das Vorzeichen egal sein, oder?
ich versteh' gerade Dein Problem nicht. [mm] $m\,$ [/mm] war ungerade, dann ist
$m+1$ gerade.
[mm] $$\sum_{\nu=m+1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}=+\frac{1}{m+1}-\frac{1}{m+2}+\frac{1}{m+3}-\ldots$$
[/mm]
(Die [mm] $\ldots$ [/mm] sind eigentlich schlecht, denn die Summe endet bei
[mm] $\text{passendes Vorzeichen} *\frac{1}{n}$ [/mm] - das ist ja eine ENDLICHE
Summe, die da steht.)
Wie Du nun auf die behauptete Gleichheit kommst, siehst Du sicher - auch,
wenn wir dann minimal anders als es vorgerechnet wurde dahingekommen
sind.
Aber warum die inneren Klammern negativ sein sollen, versteh' ich auch
nicht - sie sind eher positiv:
$$1/(m+2)-1/(m+3)=1/((m+2)*(m+3))$$
Suche jetzt mal nach einer vernünftigen Abschätzung.
Ich denke aber auch, dass man einfach mit
[mm] $$\sum_{...}...=\left(\frac{1}{m+1}-\frac{1}{m+2}\right)+\left(\frac{1}{m+3}-\frac{1}{m+4}\right)+\left(\frac{1}{m+5}-\frac{1}{m+6}\right)+...$$
[/mm]
was vernünftiges abschätzen kann. Das [mm] $n\,$ [/mm] muss dann halt so sein,
dass man eine gerade Anzahl von Summanden hat, denn so sind alle
Klammerinhalte (da stehen aber immer zwei Summanden drinne!) [mm] $\ge 0\,,$ [/mm]
und man kann sie sicher passend nach oben abschätzen!
Aber über sowas willst Du sicher erstmal selbst grübeln. Deswegen denke
ich erstmal nicht gerade weiter nach bzw. rechne erstmal nix. 
Aber Du siehst ja bspw. sowas:
[mm] $$\frac{1}{m+k}-\frac{1}{m+k+1}=\frac{1}{(m+k)(m+k+1)} \le \frac{1}{(m+k)^2}$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:47 Fr 28.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Ich schieb das mal auf die Uhrzeit, ich glaub ich weiß jetzt was ich machen muss, aber das muss jetzt mal bis morgen warten.
Gute Nacht!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:05 Fr 28.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich schieb das mal auf die Uhrzeit, ich glaub ich weiß
> jetzt was ich machen muss, aber das muss jetzt mal bis
> morgen warten.
das ist vernünftig. (Generell sollte man die (positiven) Wirkungen
von Pausen auch nicht unterschätzen!)
Hast Du übrigens gerade Ferien?
> Gute Nacht!
Ebenso!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Fr 28.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo, ich hätte gerne noch einmal eine kurze Rückmeldung zur Richtigkeit meiner fertigen Lösung:
Zu zeigen ist: ZU jedem rationalen [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein natürliches [mm] N_\varepsilon, [/mm] sodass für alle $n, [mm] m>N_\varepsilon$ [/mm] gilt: [mm] |a_n-a_m|<\varepsilon.
[/mm]
Gelte nun ohne Beschränkung der Allgemeinheit [mm] n\ge{m} [/mm] und sei [mm] N_\varepsilon>\frac{1}{\varepsilon}-1.
[/mm]
Unterscheidet man nun vier Fälle:
1. m ungerade, n ungerade
2. m ungerade, n gerade
3. m gerade, n ungerade
4. m gerade, n gerade,
so folgt:
1. [mm] |a_n-a_m|
[/mm]
[mm] =|\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|
[/mm]
[mm] =|\sum_{\nu=m+1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|
[/mm]
[mm] =|\frac{-1}{m+1}+\sum_{m+2}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|
[/mm]
[mm] =|\frac{-1}{m+1}+\sum_{\nu=1}^{\frac{(n-1)-(m+1)}{2}}(\frac{1}{m+2\nu}-\frac{1}{(m+1)+2\nu})+\frac{1}{n}|
[/mm]
[mm] =\frac{1}{m+1}-\sum_{\nu=1}^{\frac{(n-1)-(m+1)}{2}}(\frac{1}{m+2\nu}-\frac{1}{(m+1)+2\nu})-\frac{1}{n}
[/mm]
[mm] \le\frac{1}{m+1}
[/mm]
[mm] <\frac{1}{N_\varepsilon+1}
[/mm]
[mm] \le\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}-1+1}
[/mm]
[mm] =\varepsilon
[/mm]
2. [mm] |a_n-a_m|
[/mm]
[mm] =|\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|
[/mm]
[mm] =|\sum_{\nu=m+1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|
[/mm]
[mm] =|\frac{-1}{m+1}+\sum_{m+2}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|
[/mm]
[mm] =|\frac{-1}{m+1}+\sum_{\nu=1}^{\frac{n-(m+1)}{2}}(\frac{1}{m+2\nu}-\frac{1}{(m+1)+2\nu})|
[/mm]
[mm] =\frac{1}{m+1}-\sum_{\nu=1}^{\frac{n-(m+1)}{2}}(\frac{1}{m+2\nu}-\frac{1}{(m+1)+2\nu})
[/mm]
[mm] \le\frac{1}{m+1}
[/mm]
[mm] <\frac{1}{N_\varepsilon+1}
[/mm]
[mm] \le\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}-1+1}
[/mm]
[mm] =\varepsilon
[/mm]
3. und 4. lassen sich analog behandeln.
Stimmt das so?
Vielen Dank für die Hilfestellungen und Viele Grüße
P.S.: Ja, heute war der letzte Schultag
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Fr 28.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich hätte gerne noch einmal eine kurze Rückmeldung
> zur Richtigkeit meiner fertigen Lösung:
>
> Zu zeigen ist: ZU jedem rationalen [mm]\varepsilon>0[/mm] existiert
> ein natürliches [mm]N_\varepsilon,[/mm] sodass für alle [mm]n, m>N_\varepsilon[/mm]
> gilt: [mm]|a_n-a_m|<\varepsilon.[/mm]
> Gelte nun ohne Beschränkung der Allgemeinheit [mm]n\ge{m}[/mm] und
> sei [mm]N_\varepsilon>\frac{1}{\varepsilon}-1.[/mm]
> Unterscheidet man nun vier Fälle:
> 1. m ungerade, n ungerade
> 2. m ungerade, n gerade
> 3. m gerade, n ungerade
> 4. m gerade, n gerade,
> so folgt:
> 1. [mm]|a_n-a_m|[/mm]
>
> [mm]=|\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|[/mm]
>
> [mm]=|\sum_{\nu=m+1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|[/mm]
>
> [mm]=|\frac{-1}{m+1}+\sum_{m+2}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|[/mm]
>
> [mm]=|\frac{-1}{m+1}+\sum_{\nu=1}^{\frac{(n-1)-(m+1)}{2}}(\frac{1}{m+2\nu}-\frac{1}{(m+1)+2\nu})+\frac{1}{n}|[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{m+1}-\sum_{\nu=1}^{\frac{(n-1)-(m+1)}{2}}(\frac{1}{m+2\nu}-\frac{1}{(m+1)+2\nu})-\frac{1}{n}[/mm]
>
> [mm]\le\frac{1}{m+1}[/mm]
>
> [mm]<\frac{1}{N_\varepsilon+1}[/mm]
>
> [mm]\le\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}-1+1}[/mm]
>
> [mm]=\varepsilon[/mm]
>
> 2. [mm]|a_n-a_m|[/mm]
>
> [mm]=|\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|[/mm]
>
> [mm]=|\sum_{\nu=m+1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|[/mm]
>
> [mm]=|\frac{-1}{m+1}+\sum_{m+2}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}|[/mm]
>
> [mm]=|\frac{-1}{m+1}+\sum_{\nu=1}^{\frac{n-(m+1)}{2}}(\frac{1}{m+2\nu}-\frac{1}{(m+1)+2\nu})|[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{m+1}-\sum_{\nu=1}^{\frac{n-(m+1)}{2}}(\frac{1}{m+2\nu}-\frac{1}{(m+1)+2\nu})[/mm]
>
> [mm]\le\frac{1}{m+1}[/mm]
>
> [mm]<\frac{1}{N_\varepsilon+1}[/mm]
>
> [mm]\le\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}-1+1}[/mm]
>
> [mm]=\varepsilon[/mm]
>
> 3. und 4. lassen sich analog behandeln.
>
> Stimmt das so?
Ja
FRED
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> Vielen Dank für die Hilfestellungen und Viele Grüße
>
> P.S.: Ja, heute war der letzte Schultag
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 Fr 28.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm]a_n=\sum_{\nu=1}^{n}\frac{(-1)^{\nu+1}}{\nu}.[/mm] Man
> zeige, dass [mm]\{a_n\}[/mm] Cauchy-Folge in [mm]\IQ[/mm] ist.
> Hallo, das ist meine erste Anwendungsaufgabe zu
> Cauchy-Folgen, ich bin mir deswegen nicht ganz sicher wegen
> der üblichen Vorgehensweise.
>
> Zu zeigen ist: Zu jedem [mm]\varepsilon>0, \varepsilon\in\IQ[/mm]
> existiert ein [mm]N_\varepsilon\in\IN,[/mm] sodass für alle
dass Du hier [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ mit [mm] $\varepsilon \in \IQ$ [/mm] hast, hat
übrigens nichts damit zu tun, dass die Folge eine Cauchyfolge in [mm] $\IQ$
[/mm]
sein soll. Ich nehme an, dass aus der Quelle, wo die Aufgabe her stammt,
zur Zeit der Aufgabenstellung einfach [mm] $\IR$ [/mm] noch nicht bekannt (=
konstruiert - eingeführt worden) war.
Du kannst Dir ja sicher überlegen, dass gilt:
Eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] ist genau dann konvergent, wenn es ein $a [mm] \in \IR$ [/mm] so gibt, dass:
Zu jeder rationalen Zahl [mm] $\epsilon_{\IQ} [/mm] > 0$ existiert ein
[mm] $N=N_{\epsilon_{\IQ}}$ [/mm] derart, dass [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon_{\IQ}$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Analoges gilt für Cauchyfolgen - dass man da auch [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ durch
[mm] $\epsilon_{\IQ} \in (0,\infty) \cap \IQ$ [/mm] ersetzen darf ... (und man muss
nicht nur in [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$ [/mm] arbeiten, auch das geht allgemeiner).
Überleg's mal, woran das wohl liegen könnte...
Gruß,
Marcel
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