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Folge mehrerer Veränderlicher: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:49 Di 18.07.2017
Autor: Paivren

Guten Abend,

ich erinnere mich gerade nicht mehr, wie man mit Folgen mehrerer Veränderlicher umgeht.

Ich möchte das Grenzverhalten von (x,y) --> (3,0) untersuchen von der Funktion [mm] f(x,y)=\bruch{y(x-3)}{((x-3)^{2}+y)^{3}} [/mm]

Mein Instinkt sagt mir, dass das wegen der höheren Potenzen im Nenner gegen [mm] \infty [/mm] geht.
Aber wie zeigt man das streng? L'hospital in 2 Dimensionen?

Für die Divergenz genügt es ja, wenn man zwei Annäherungsrichtungen findet, aus der das Randverhalten unterschiedlich ist.
Aber wenn ich jetzt zB. die "triviale" Richtung (x,0) für x-->3 betrachte, dann ist der Zähler ja konstant 0. Und ich hab immer noch keine Ahnung, was dann an der entsprechenden Stelle geschieht =(

Kann mir wer auf die Sprünge helfen?

Gruß

Paivren

        
Bezug
Folge mehrerer Veränderlicher: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:35 Di 18.07.2017
Autor: X3nion

Hallo Paivren,

1) Setze y=0 und betrachte [mm] lim_{x\rightarrow\3} [/mm] f(x,0), also:

[mm] \lim_{x\rightarrow\3} [/mm] f(x,0) = [mm] \frac{0(x-3)}{((x-3)^{2} + 0)^{3}} [/mm] = [mm] \lim_{x\rightarrow\3} \frac{0}{((x-3)^{2} + 0)^{3}} [/mm] = 0 [mm] \forall x\in \IR [/mm] (ich gehe jetzt davon aus, dass f: [mm] \IR^2 \to [/mm] IR)

2) Setze x = 3 und verfahre analog!


Viele Grüße,
X3nion

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Folge mehrerer Veränderlicher: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:54 Di 18.07.2017
Autor: Paivren

Hallo X3nion, danke Dir erst mal!

zu 1) Ich war mir nicht sicher, ob das legitim ist. Klar, solange x noch ungleich 3 ist, ist der ganze Bruch 0, aber "im Grenzwert" selbst, steht da doch wieder was undefiniertes, àla 0/0. Oder ist das irrelevant?

2) Hier passiert doch das selbe, oder?

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Folge mehrerer Veränderlicher: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:06 Mi 19.07.2017
Autor: X3nion

Hallo Paivren,

erstmal sorry, es gilt f(x,0) = 0 natürlich nur für alle [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{3\} [/mm] (ich hatte für alle [mm] \IR [/mm] geschrieben, aber für x=3 ist die Funktion ja dann nicht definiert)

Da die Funktion stetig ist und f(x,0) = 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \{3\}, [/mm] gilt auch [mm] \lim_{x\rightarrow 3} [/mm] f(x,0) = 0.

Natürlich kannst du auch L'Hopital benutzen. Dies führt dich nach sechsmaligem Ableiten auf den Term: [mm] \lim_{x\to 3} \frac{0}{6!} [/mm] und folglich zum Grenzwert "0".


Viele Grüße,
X3nion



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Folge mehrerer Veränderlicher: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:39 Mi 19.07.2017
Autor: Paivren

Ahh, verstehe. Wenn ich also eine stetige Funktion hab, die nur in einem Punkt nicht definiert ist, und die Funktion überall konstant ist, dann ist der Grenzwert an diesen Punkt auch gleich eben diesen konstanten Werts?


Ok, aber Moment: Jetzt habe ich aus zwei verschiedenen Richtungen den Grenzwert 0. Das hilft mir aber doch nicht weiter, oder? Ich muss entweder zwei ungleiche Grenzwerte haben, oder ich muss argumentieren, dass der Grenzwert aus allen Richtung kommend 0 ergibt.



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Folge mehrerer Veränderlicher: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:17 Mi 19.07.2017
Autor: X3nion

Die Stetigkeit verlangt, dass für jede Folge [mm] (x_{n}, y_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (x_{n}, y_{n}) [/mm] = (3, 0) stets [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}, y_{n}) [/mm] = f(3, 0) gilt.

Setzt man in diesem Fall f(3,0) := 0, so ist dies für die zwei Folgen (0, [mm] y_{n})_{n\to\infty} [/mm] und [mm] (x_{n}, 0)_{n\to\infty} [/mm] gegeben.
Allerdings muss, salopp gesprochen, der Grenzwert [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}, y_{n}) [/mm] = 0 auch für jede beliebige andere Folge, die gegen (3,0) konvergiert, gelten.

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Folge mehrerer Veränderlicher: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:39 Mi 19.07.2017
Autor: Paivren

Also kann ich aus der Stetigkeit der Funktion folgern, dass die Grenzwerte aus jeder Richtung kommend gleich sein müssen, und deswegen genügt der eine Beweis von dir und die Funktion konvergiert gegen 0?


Gute Nacht erst mal :)

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Folge mehrerer Veränderlicher: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:02 Mi 19.07.2017
Autor: X3nion

Hallo Paivren,

nein, es muss wie gesagt für jede Folge gelten, nicht nur für die zwei Folgen, die ich genannt habe :)
Es folgt aus der Stetigkeit im 1-dimensionalen, dass der Grenzwert jeweils "0" ist, aber nicht im mehrdimensionalen.

Wäre der Grenzwert beide Male unterschiedlich, so wäre die Folge nicht stetig.

Ich weiß nicht ob ich es zeitlich schaffe, die Aufgabe durchzurechnen.
Stelle einfach deine Frage mit deinen bisherigen Ausführungen und wie man die Stetigkeit bzw. Unstetigkeit beweist (habe auch kein Programm da, um die Funktion einmal zu illustrieren).


Viele Grüße,
X3nion

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Folge mehrerer Veränderlicher: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:11 Mi 19.07.2017
Autor: fred97

Statt $ [mm] \lim_{(x,y) \to ((3,0)}f(x,y)$ [/mm] kannst Du auch

[mm] $\lim_{(t,y) \to ((0,0)}\frac{ty}{(t^2+y)^3}$ [/mm] untersuchen.

Für $y>0$ und [mm] t=\sqrt{y} [/mm] liefert dies: [mm] $\lim_{y \to 0}\frac{\sqrt{y}y}{(2y)^3}= \infty$. [/mm]

Fazit: $ [mm] \lim_{(x,y) \to ((3,0)}f(x,y)$ [/mm] ex. nicht.

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Folge mehrerer Veränderlicher: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:12 Do 27.07.2017
Autor: Paivren

Hallo ihr beiden,

habe vergessen, mich zu bedanken.

Thx für eure Antworten :)

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