Folge und Konvergenz < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei [mm] (a_{n}) \subset \IR [/mm] eine Folge mit der Eigenschaft [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| \to [/mm] für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Folgt daraus die Konvergenz von [mm] (a_{n})? [/mm] |
Hallo, ich habe mal wieder ne Frage.
Also ich habe keine Ahunng wie daran gehen muss, und ich muss dazu sagen ich habe einige Probleme mit Analysis.
Wäre nett wenn mir jmd nen Tipp oder einen Ansatz geben könnte.
Grüße Charlie
|
|
| |
|
> Es sei [mm](a_{n}) \subset \IR[/mm] eine Folge mit der Eigenschaft
> [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}| \to[/mm] für n [mm]\to \infty.[/mm]
Ich nehme einmal an, dass dass folgendermassen gelautet hat:
[mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}| \to 0[/mm] für n [mm]\to \infty.[/mm]
> Folgt daraus die
> Konvergenz von [mm](a_{n})?[/mm]
> Hallo, ich habe mal wieder ne Frage.
> Also ich habe keine Ahunng wie daran gehen muss, und ich
> muss dazu sagen ich habe einige Probleme mit Analysis.
>
> Wäre nett wenn mir jmd nen Tipp oder einen Ansatz geben
> könnte.
>
> Grüße Charlie
hallo Charlie,
wahrscheinlich ist dir folgendes bekannt: Wenn die Folge [mm] (a_n) [/mm]
konvergent ist, also einen Grenzwert besitzt, dann muss
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n| [/mm] = 0 sein .
Jetzt ist die Frage, ob auch der umgekehrte Schluss richtig sei.
Ich rate dir mal, folgende Beispiele zu betrachten:
a) Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
b) Folge [mm] (b_n) [/mm] rekursiv definiert durch [mm] b_1 [/mm] = 1; [mm] b_{n} [/mm] = [mm] b_{n-1}+\bruch{1}{n} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2
c) Folge [mm] (c_n) [/mm] mit [mm]c_n = ln(n)[/mm]
Gruß al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
Also, ich habe mir ein paar gedanken geamcht und bei c) habe ich glaube ich nen Widerspruch gefunden.
Also ich hab [mm] c_{n}:=ln(n)
[/mm]
Dann ist |a{n+1} - [mm] a_{n}| [/mm] = |ln(n+1) - ln(n)| = ln(1) [mm] \to [/mm] 0 [mm] \to [/mm] also konvergent?
Aber ln(n) ist divergent!!...somit kann man nicht darauf schließen dass [mm] (a_{n}) [/mm] konvergent ist..ist das so richtig
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 So 04.05.2008 | | Autor: | taura |
Hallo Charlie!
> Dann ist |a{n+1} - [mm]a_{n}|[/mm] = |ln(n+1) - ln(n)| = ln(1) [mm]\to[/mm]
> 0 [mm]\to[/mm] also konvergent?
Du hast hier die Logarithmengesetzte falsch angewendet! Es muss heißen [mm] $ln(n+1)-ln(n)=ln\left(\br{n+1}{n}\right)$.
[/mm]
Gruß taura
|
|
|
| |
|
mmh.. mist!
ist denn mein Gedankengagng richtig?
also [mm] ln(\bruch{n+1}{n}) [/mm] ist ja sowas wie [mm] ln(1+\varepsilon) [/mm] und das geht doch gegen 0 oder nicht ?
oder stimmt etwa die in der Aufgabe gestellte Beh. ?
|
|
|
| |
|
Hey!
> mmh.. mist!
> ist denn mein Gedankengagng richtig?
> also [mm]ln(\bruch{n+1}{n})[/mm] ist ja sowas wie [mm]ln(1+\varepsilon)[/mm]
> und das geht doch gegen 0 oder nicht ?
Genau. Es ist ja:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}ln(\bruch{n+1}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}ln(\bruch{1+\frac{1}{n}}{1})=ln(\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+\frac{1}{n}}{1})=ln(1)
[/mm]
Du kannst ja mal überlegen warum man den Limes in den ln reinziehen darf.
Gruß Patrick
>
> oder stimmt etwa die in der Aufgabe gestellte Beh. ?
|
|
|
|
