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| Aufgabe | Es sei [mm] (x_{n}) [/mm] eine Folge reeller Zahlen und
[mm] a_{n}= \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_{k} [/mm] die Folge der Mittelwerte.
a) Zeigen sie, falls(xn) gegen 0 konvergiert, die Folge der Mittelwerte (an) auch gegen 0 konvergiert.
b) Zeigen sie, dass a) für jeden Grenzwert a gilt. |
Meine Idee:
a) 1. [mm] a_{n} [/mm] monoton fallend
2. 0 ist untere Schranke
ISt der Ansatz richtig?
1. [mm] a_{n}>a_{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_{k} [/mm] > [mm] \bruch{1}{n+1} \summe_{k=1}^{n+1} x_{k}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n}*(x_{1}+...+x_{n})> \bruch{1}{n+1}*(x_{1}+...+x_{n}+x_{n+1})
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n}*(x_{1}+...+x_{n})- \bruch{1}{n+1}*(x_{1}+...+x_{n}+x_{n+1})>0
[/mm]
[mm] x_{1}*( \bruch{1}{n}- \bruch{1}{n+1})+...+x_{n}*( \bruch{1}{n}- \bruch{1}{n+1})- \bruch{1}{n+1}*x_{n+1}>0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n}- \bruch{1}{n+1}= \bruch{1}{n*(n+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n*(n+1)}*(x_{1}+...+x_{n})> \bruch{1}{n+1}*x_{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n}*(x_{1}+...+x_{n})>x_{n+1}
[/mm]
und jetzt hakt es. Über Hinweise würde ich mich freuen.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Es sei [mm](x_{n})[/mm] eine Folge reeller Zahlen und
>
> [mm]a_{n}= \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_{k}[/mm] die Folge der
> Mittelwerte.
>
> a) Zeigen sie, falls(xn) gegen 0 konvergiert, die Folge der
> Mittelwerte (an) auch gegen 0 konvergiert.
>
> b) Zeigen sie, dass a) für jeden Grenzwert a gilt.
>
> Meine Idee:
>
> a) 1. [mm]a_{n}[/mm] monoton fallend
> 2. 0 ist untere Schranke
>
> ISt der Ansatz richtig?
Nein, beide Annahmen sind falsch.
Z.B. ist für [mm] $x_1=-1,x_2=10,x_n=1/n$ [/mm] die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] weder monoton fallend, noch 0 eine untere Schranke.
Und selbst wenn [mm] $a_n$ [/mm] monoton und beschränkt wäre, hättest du damit nur die Konvergenz gezeigt und nichts über den Grenzwert ausgesagt.
Du musst/sollst hier die [mm] $\varpesilon$-Definition [/mm] der beteiligten Grenzwerte heranziehen.
Viele Grüße,
Marc
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Kannst du mir das bitte etwas genauer aufzeigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
> Kannst du mir das bitte etwas genauer aufzeigen?
Du kennst doch hoffentlich die [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] für Grenzwerte, ist ja schließlich gerade Thema in eurer Vorlesung.
Du musst also folgendes zeigen:
[mm] $\forall\varepsilon>0\ \exists n_0\in\IN\ [/mm] :\ [mm] |a_n-0|<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge n_0$
[/mm]
Sei also [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] (beliebig, aber fest) vorgegeben.
Da [mm] $(x_n)$ [/mm] gegen 0 konvergiert, existiert (wegen genau dieser Grenzwertdefinition) für [mm] $\varepsilon':=\varepsilon/2$ [/mm] ein [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] mit [mm] $|x_n-0|<\varepsilon'$.
[/mm]
Mit diesem Wissen kannst du nun den Term
[mm] $|a_n-0|=\left|\frac1n\summe_{k=1}^n x_k-0\right|=\left|\frac1n\left(\summe_{k=1}^{n_0} x_k+\summe_{k=n_0+1}^n x_k\right)\right|$
[/mm]
gut abschätzen und argumentieren, warum er kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] wird.
VIele Grüße,
Marc
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Ich versuche mich mal an den zwei Summen:
[mm] \summe_{k=n_{0}+1}^{n}x_{k}=x_{n_{0}+1}+...+x_{n}
[/mm]
für jeden Summanden dieser Summe gilt doch:
[mm] x_{k}< \varepsilon' [/mm] (das ergibt sich ja aus der Definition)
also:
[mm] x_{n_{0}+1}+...+x_{n}
Ist das richtig?
Jetzt überlege ich für den zweiten Summanden ( [mm] \summe_{k=1}^{n_0} x_k), [/mm] dass es ja nur endlich viele Folgenglieder sind. Und wenn man diese aufaddiert und durch n (sehr groß) teilt, das Ergebnis sehr klein wird. Ist die Idee richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ich versuche mich mal an den zwei Summen:
>
> [mm]\summe_{k=n_{0}+1}^{n}x_{k}=x_{n_{0}+1}+...+x_{n}[/mm]
>
> für jeden Summanden dieser Summe gilt doch:
> [mm]x_{k}< \varepsilon'[/mm] (das ergibt sich ja aus der
> Definition)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also:
> [mm]x_{n_{0}+1}+...+x_{n}
>
> Ist das richtig?
, besser allerdings am Ende [mm] $\varepsilon'\le \frac{\varepsilon}2$ [/mm] (siehe meine Definition von [mm] $\varepsilon'$) [/mm] schreiben
> Jetzt überlege ich für den zweiten Summanden (
> [mm]\summe_{k=1}^{n_0} x_k),[/mm] dass es ja nur endlich viele
> Folgenglieder sind. Und wenn man diese aufaddiert und durch
> n (sehr groß) teilt, das Ergebnis sehr klein wird. Ist die
> Idee richtig?
Das ist genau die richtige Idee.
Wenn die endliche Summe, dividiert durch n, beliebig klein werden kann, dann wird sie auch irgendwann kleiner als [mm] $\varepsilon'=\frac{\varpesilon}2$. [/mm] Also lässt sich die gesamte Summe in zwei Teile aufspalten, die beide kleiner als [mm] $\varepsilon/2$ [/mm] werden, insgesamt also kleiner als [mm] $\varepsilon$, [/mm] wie geünscht.
Das musst du nun nur noch nachvollziehbar und exakt aufschreiben 
Viele Grüße,
Marc
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Mir ist jetzt nur nicht klar, wie ich das mathematisch richtig aufschreibe. ICh hätte es jetzt einfach als Text dazu geschrieben. Kann aber kaum glauben, dass das reicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Mir ist jetzt nur nicht klar, wie ich das mathematisch
> richtig aufschreibe. ICh hätte es jetzt einfach als Text
> dazu geschrieben. Kann aber kaum glauben, dass das reicht.
Doch, das könnte schon reichen, schließlich wurden früher mathematische Probleme fast nur in Textfor behandelt (weil es die Symbolschreibweisen, Gleichungen etc. noch gar nicht gab).
Aber bis Mittwoch ist doch noch genug Zeit, um das mal selbst zu versuchen, die Idee der Aufgabenlösung ist ja nun bekannt.
Probier' das mal, eine Argumentation (mit der Epsilon-Technik) zu finden, die dich selbst überzeugt und präsentiere hier deine Versuche.
Viele Grüße,
Marc
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Ich habe das jetzt so aufgeschrieben (für die erste Summe):
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}* \summe_{k=1}^{n_{0}}x_{k}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}*konst.=0< \varepsilon' <\varepsilon/2
[/mm]
Ich hoffe das ist in Ordnung so.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Mi 24.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das mit [mm] \epsilon [/mm] nach dem lim ist so fasch. du willst doch, dass die 2 summanden für genügend gr. n zusammen kleiner [mm] \epsilon [/mm] sind.
also
> Ich habe das jetzt so aufgeschrieben (für die erste
> Summe):
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}* \summe_{k=1}^{n_{0}}x_{k}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}*konst.=0< \varepsilon' <\varepsilon/2[/mm]
>
richtig; $ [mm] \bruch{1}{n}* \summe_{k=1}^{n_{0}}x_{k}= \bruch{1}{n}*konst. <\varepsilon/2$ [/mm] für [mm] n>N_0 [/mm] und das gibst du in Abh. von [mm] \epsilon [/mm] und konst. an.
Gruss leduart
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