Folgen- & Grenzwertbetrachtung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Untersuchen Sie die Folgen [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (b_n)_{n\in\IN} [/mm] auf Konvergenz, wobei [mm] a_n=\frac{1}{\vektor{2n \\ n}} [/mm] und [mm] b_n=\frac{(4 + 5i)^n + 6^n}{(4 + 5i)^{n+1} + 7i}.
[/mm]
Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. |
| Aufgabe 2 | Für [mm] n\in\IN [/mm] sei [mm] a_n=\summe_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+ ...+\frac{1}{2n}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] konvergiert. |
| Aufgabe 3 | | Sei [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] die rekursiv durch [mm] a_1=2 [/mm] und [mm] a_{n+1}=\frac{3(a_n)^2 + 1}{(a_n)^2 + 3} [/mm] gegebene Folge. Zeigen Sie, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergiert und bestimmen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n. [/mm] Berechnen Sie mit Hilfe eines Computerprogramms auch die Folgenglieder [mm] a_{10} [/mm] und [mm] a_{100}. [/mm] |
| Aufgabe 4 | | Sei [mm] (a_n) [/mm] die rekursiv durch [mm] a_1=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}=\frac{10n a_n}{10n + a_n} [/mm] definierte Folge. Zeigen Sie, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergiert. Was ist der Grenzwert der Folge [mm] (a_n)? [/mm] |
Hallo.
Ich habe mal meinen gesamten Übungszettel als eine Aufgabe hier gepostet, da ich bei allen Aufgaben das gleiche Problem habe.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand anhand einer dieser Aufgaben erläutern kann, wie ich bei der Grenzwertbetrachtung vorzugehen habe. Ebenso ist für mich interessant, wie ich die Konvergenz einer Summe oder eines Produktes zeigen kann.
Leider komme ich mit diesem Thema nicht so klar und hoffe, dass es mir klarer wird, wenn ich einen Ansatz bekomme würde.
Ich hoffe auf eure Mithilfe.
Danke.
PS. Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo.
Ich habe mich jetzt selbst mal an Aufgabe 1 gewagt.
zu (a)
Gegeben sei die Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{\vektor{2n \\ n}}. [/mm] Dann gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \infty.
[/mm]
Es gilt nämlich nach Definition: [mm] \frac{1}{\vektor{2n \\ n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{2n!}{n! * (2n - n)!}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{2n!}{n!*n!}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{2}{n!}} [/mm] = [mm] \frac{n!}{2}.
[/mm]
Bei großem n strebt dieser Bruch nun also gegen [mm] \infty...
[/mm]
Aber [mm] \infty [/mm] ist doch kein Grenzwert, oder? Dann konvergiert die Folge ja auch nicht, aber wie kann ich das nun genau zeigen?
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Hallo honigbaer,
aufgepasst ! Du hast lebensnotwendige Klammern vergessen!
Es ist [mm] $(2n)!\neq 2\cdot{}n!$\qquad [/mm] !!!!
> Hallo.
>
> Ich habe mich jetzt selbst mal an Aufgabe 1 gewagt.
>
> zu (a)
> Gegeben sei die Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\frac{1}{\vektor{2n \\ n}}.[/mm] Dann gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = [mm]\infty.[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
ich würde sagen, das strebt gegen 0
> Es gilt nämlich nach Definition: [mm]\frac{1}{\vektor{2n \\ n}}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{\frac{\red{(2n)}!}{n! * (2n - n)!}}[/mm]
Hier MUSST du klammern !!
=
> [mm]\frac{1}{\frac{2n!}{n!*n!}}[/mm] = [mm]\frac{1}{\frac{2}{n!}}[/mm] =
> [mm]\frac{n!}{2}.[/mm]
Das ist ein Folgefehler
> Bei großem n strebt dieser Bruch nun also gegen [mm]\infty...[/mm]
Nee
> Aber [mm]\infty[/mm] ist doch kein Grenzwert, oder? Dann konvergiert
> die Folge ja auch nicht, aber wie kann ich das nun genau
> zeigen?
ok, es ist [mm] $(2n)!=n!\cdot{}(n+1)\cdot{}(n+2)\cdot{}....\cdot{}\underbrace{(n+(n-1))}_{=2n-1}\cdot{}\underbrace{(n+n)}_{=2n}$
[/mm]
Also kannst du deine Folge schreiben als
[mm] $\frac{1}{\frac{(2n)!}{n!\cdot{}n!}}=\frac{n!\cdot{}n!}{(2n)!}=\frac{n!\cdot{}n!}{n!\cdot{}{}(n+1)\cdot{}(n+2)\cdot{}....\cdot{}(2n-1)\cdot{}(2n)}=\frac{n!}{(n+1)\cdot{}(n+2)\cdot{}....\cdot{}(2n-1)\cdot{}(2n)}$
[/mm]
Nun vergleiche mal die Faktoren in der Fakultät im Zähler mit den Faktoren im Nenner
Gruß
schachuzipus
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Hallo.
Okay. Du hast recht, da habe ich mir das ein wenig zu einfach gemacht...
Nun gilt also:
[mm] \frac{1}{\frac{(2n)!}{n!\cdot{}n!}}
[/mm]
[mm] =\frac{n!\cdot{}n!}{(2n)!}
[/mm]
[mm] =\frac{n!\cdot{}n!}{n!\cdot{}{}(n+1)\cdot{}(n+2)\cdot{}....\cdot{}(2n-1)\cdot{}(2n)}
[/mm]
[mm] =\frac{n!}{(n+1)\cdot{}(n+2)\cdot{}....\cdot{}(2n-1)\cdot{}(2n)}
[/mm]
= [mm] \frac{n!}{(2n)! - n!}
[/mm]
Aber wie hilft mir das nun wieder weiter?
Wie zeige ich denn jetzt allgemein, dass die Folge überhaupt konvergiert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo honigbär!
> [mm]=\frac{n!}{(n+1)\cdot{}(n+2)\cdot{}....\cdot{}(2n-1)\cdot{}(2n)}[/mm]
Du hast hier doch einen Bruch mit jeweils $n_$ Faktoren in Zähler und Nenner:
$$= \ [mm] \bruch{1*2*3*...*(n-1)*n}{(n+1)*(n+2)*(n+3)*...*(2n-1)*2n}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{1}{n+1}*\bruch{2}{n+2}*\bruch{3}{n+3}*...*\bruch{n-1}{2n-1}*\bruch{n}{2n}$$
[/mm]
Jeder dieser Brücher ist [mm] $\le [/mm] \ 1$ . Und gegen welchen Wert strebt z.B. der 1. Bruch? Und damit lautet der Gesamtgrenzwert?
Gruß
Loddar
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Hallo.
Vielen Dank. Das macht natürlich Sinn...
Jetzt ist meine Frage aber immer noch, wie zeige ich das die Folge konvergiert. Mein Prof meinte, dass zu erst gezeigt werden muss, dass die Folge konvergiert und dann kann man erst den Grenzwert bilden und dauch betrachten...
Zur Konvergenz wird leider wieder nichts gesagt....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Fr 04.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
3 Methoden:
1. du rätst den GW hier 0 und zeigst, dass es zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] ein N gibt so dass [mm] a_n<\epsilon [/mm] für alle n>N.
2. du zeigst dass es eine monoton fallende Folge ist, die nach unten beschränkt ist.
3. zeig, dass es ne Cauchyfolge ist.
hier ist 1. am einfachsten!
Gruss leduart
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Hallo.
Das ist doch schon mal ein Anfang und damit kann ich vom Prinzip auch was anfangen, aber mir ist es leider nicht möglich jetzt die Nummer 1 auf dieses spezielle Problem hier anzuwenden...
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0. Aber wie gehe ich jetzt weiter vor? Muss ich jetzt auch wieder dieses Umformungen machen, aber dann kann ich ja auch kein einheitliches N kommen, sondern dann wäre doch N = [mm] \infty, [/mm] da ja erst für n [mm] \to \infty [/mm] gilt [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] = 0.
Oder sehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Fr 04.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch
$ [mm] a_n=\frac{1}{n+1} [/mm] * [mm] \frac{2}{n+2}*....<\frac{1}{n+1}$
[/mm]
wähle [mm] N>1/\epsilon [/mm] dann ist [mm] a_n<\epsilon [/mm] für alle n>N
Als Anfänger denkt man immer man müsste ein besonders günstiges, oder kleines N wählen, es schad aber nix, wenn das viel zu groß ist, die hauptsache es gibt irgendeines!
Gruss leduart
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Also.
Ich komme damit immer noch nicht so wirklich klar. Ich würde das ganze jetzt so aufschreiben und abgeben wollen.
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0. Setze N > [mm] \frac{1}{\epsilon}. [/mm] Dann gilt zunächst für n [mm] \ge [/mm] N.
[mm] \frac{1}{\vektor{2n \\ n}}
[/mm]
= [mm] \frac{1}{\frac{(2n)!}{n! \cdot{} n!}}
[/mm]
= [mm] \frac{n! \cdot{} n!}{(2n)!}
[/mm]
= [mm] \frac{n! \cdot{} n!}{n! \cdot{} (n+1) \cdot{} (n+2) \cdot{} ... \cdot{} (2n-1) \cdot{} (2n)}
[/mm]
= [mm] \frac{n!}{(n+1) \cdot{} (n+2) \cdot{} ... \cdot{} (2n-1) \cdot{} 2n}
[/mm]
= [mm] \frac{1}{n+1} \cdot{} \frac{2}{n+2} \cdot{} [/mm] ... [mm] \cdot{} \frac{n}{2n}
[/mm]
Da offensichtlich gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n+1} [/mm] = 0 gilt nun auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n+1} \cdot{} \frac{2}{n+2} \cdot{} [/mm] ... [mm] \cdot{} \frac{n}{2n} [/mm] = 0, denn
[mm] \frac{1}{n+1} \cdot{} \frac{2}{n+2} \cdot{} [/mm] ... [mm] \cdot{} \frac{n}{2n}
[/mm]
< [mm] \frac{1}{n+1}
[/mm]
< [mm] \frac{1}{\frac{1}{\epsilon} + 1}
[/mm]
= [mm] \frac{\epsilon}{\epsilon + 1}
[/mm]
Kann man das so machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Honigbär!
> Sei [mm]\epsilon[/mm] > 0. Setze N > [mm]\frac{1}{\epsilon}.[/mm]
Wie kommst Du darauf im Vorfeld?
> = [mm]\frac{1}{n+1} \cdot{} \frac{2}{n+2} \cdot{}[/mm] ... [mm]\cdot{} \frac{n}{2n}[/mm]
>
> Da offensichtlich gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n+1}[/mm] = 0 gilt nun auch
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n+1} \cdot{} \frac{2}{n+2} \cdot{}[/mm] ... [mm]\cdot{} \frac{n}{2n}[/mm] = 0,
Da auch alle anderen Faktoren / Brüche beschränkt sind mit [mm] $\le [/mm] \ 1$ !
> denn [mm]\frac{1}{n+1} \cdot{} \frac{2}{n+2} \cdot{}[/mm] ... [mm]\cdot{} \frac{n}{2n}[/mm] < [mm]\frac{1}{n+1}[/mm] < [mm]\frac{1}{\frac{1}{\epsilon} + 1}[/mm] = [mm]\frac{\epsilon}{\epsilon + 1}[/mm]
Du musst ja noch umformen nach $n \ > \ ...$ .
Ich würde hier wie folgt vorgehen.
Nach der Abschätzung oben haben wir folgende Ungleichheitskette:
[mm] $$\bruch{1}{\vektor{2n\\n}} [/mm] \ = \ ... \ < \ [mm] \red{\bruch{1}{n+1} \ < \ \varepsilon}$$
[/mm]
Und das kann man nun umformen zu $n \ > \ [mm] \bruch{1}{\varepsilon}-1$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Honigbär!
Klammere hier den Term [mm] $(4+5*i)^n$ [/mm] aus und untersuche anschließend den Betrag des Bruches [mm] $\bruch{6}{4+5*i}$ [/mm] .
Wenn dieser nämlich $< \ 1$ ist, handelt es sich bei [mm] $\left(\bruch{6}{4+5*i}\right)^n$ [/mm] um eine Nullfolge.
Gruß
Loddar
PS: Bist Du sicher, dass Du hier jede Folge mittels [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] nachweisen sollst?
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Hallo.
Ich habe jetzt Aufgabe 1(a), 2 und 4. Die Aufgabe 3 ist auch fast fertig, es fehlt nur noch ein kleines Stück...
Mein Problem ist jetzt noch die Aufgabe 1(b).
Ich betrachte ja den Bruch [mm] \frac{(4+5i)^n + 6^n}{(4 + 5i)^{n+1} + 7i}. [/mm] Wenn ich dort jetzt (4 + [mm] 5i)^n [/mm] ausklammere, dann erhalte ich den folgenden Bruch [mm] \frac{1 + \frac{6^n}{(4 + 5i)^n}}{4 + 5i + \frac{7i}{(4 + 5i)^n}}.
[/mm]
Also bei [mm] \frac{7i}{(4+5i)^n} [/mm] handelt es sich offensichtlich um eine Nullfolge. Bei dem Bruch [mm] \frac{6^n}{(4+5i)^n} [/mm] kann ich ja nicht so recht was aussagen.
Ich weiß auch immer noch nicht, ob das ganze eine konvergente Folge ist, oder nicht?
Vielleicht kann mir dort noch jemand auf die Sprünge helfen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Di 08.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Honigbär!
> Also bei [mm]\frac{7i}{(4+5i)^n}[/mm] handelt es sich offensichtlich um eine Nullfolge.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei dem Bruch [mm]\frac{6^n}{(4+5i)^n}[/mm] kann ich ja nicht so recht was aussagen.
Es gilt: [mm] $\frac{6^n}{(4+5i)^n} [/mm] \ = \ [mm] \left(\frac{6}{4+5i}\right)^n$ [/mm] .
Und für $|q| \ < \ 1$ ist [mm] $q^n$ [/mm] ebenfalls eine Nullfolge. Bestimme also [mm] $\left|\frac{6}{4+5i}\right|$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Aha.
Okay. Betrachte also den Bruch
[mm] |\frac{6}{4+5i}|
[/mm]
= [mm] |\frac{24}{41} [/mm] - [mm] \frac{30}{41}| [/mm]
= [mm] |-\frac{6}{41}|
[/mm]
< 1
Also handelt es sich bei [mm] \frac{6^n}{(4+5i)^n} [/mm] um eine Nullfolge. Also ist der Grenzwert der Folge [mm] \frac{1}{4+5i}, [/mm] oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Di 08.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Honigbär!
Das Ergebnis und die Schlussfolgerung stimmen. Allerdings hast Du den Betrag falsch berechnet:
[mm] $$\left|\bruch{6}{4+5i}\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{24}{41}-\bruch{30}{41}*\red{i} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\left(\bruch{24}{41}\right)^2+\left(\bruch{30}{41}\right)^2 \ } [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{1476}}{41} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.937 \ < \ 1$$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Honigbär!
Bei beiden Aufgaben ist die Vorgehensweise ähnlich:
Weise (z.B. mittels vollständiger Induktion) jeweils die Beschränktheit und die Monotonie der Folgen nach. Daraus folgt dann unmittelbar die Eigenschaft der Konvergenz.
Den entsprechenden Grenzwert $a_$ kannst Du dann über den Ansatz $a \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}$ [/mm] ermitteln.
Gruß
Loddar
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Hallo.
Ich werde dann erstmal versuchen die Konvergenz dieser Folge zu zeigen.
Monotonie:
Seien n,m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a_{n+1} \le a_{m+1}. [/mm] Dann gilt
[mm] \frac{3a_n^2 + 1}{a_n^2 + 3} \le \frac{3am^2 + 1}{a_m^2 + 3}
[/mm]
[mm] (3a_n^2 [/mm] + [mm] 1)(a_m^2 [/mm] + 3) [mm] \le (3a_m^2 [/mm] + [mm] 1)(a_n^2 [/mm] + 3)
[mm] (3a_n^2a_m^2 [/mm] + [mm] 9a_n^2 [/mm] + [mm] a_m^2 [/mm] + 3) [mm] \le (3a_m^2a_n^2 [/mm] + [mm] 9a_m^2 [/mm] + [mm] a_n^2 [/mm] + 3)
[mm] 8a_n^2 \le 8a_m^2
[/mm]
[mm] a_n \le a_m
[/mm]
Somit gilt nun n [mm] \le [/mm] m und somit ist die Folge monoton.
Beschränktheit: [mm] (\frac{3a_n^2 + 1}{a_n^2 + 3} \le [/mm] 2)
(IA)
Sei n=1. Dann gilt:
[mm] \frac{3a_n^2 + 1}{a_n^2 + 3} [/mm] = [mm] \frac{3a_1^2 + 1}{a_1^2 + 3} [/mm] = [mm] \frac{12 + 1}{4 + 3} [/mm] = [mm] \frac{13}{7} \le [/mm] 2
(IV)
Die Behauptung gelte für ein fest gewähltes aber beliebiges n [mm] \in \IN.
[/mm]
(IS)
Nun gilt [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{3a_n^2 + 1}{a_n^2 + 3} \le [/mm] 2. und somit die Behauptung.
Ich glaube, dass ich mir das hier ein wenig zu einfach gemacht habe, aber ich weiß leider nicht, wie ich das hier sonst zeigen kann...
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Bin leider immer noch am verzweifeln mit dieser Aufgabe.
Den Beweis für die Aufgabe 4 bekomme ich leider auch nicht hin, da es nicht so einfach durch eine Umformung klappt. Kann mir vielleicht jemand beim Ansatz dafür helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mo 07.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei 4 hast du die untere Schranke 0 leicht. dann noch monoton fallend! oder dividier durch n und sieh dirs für große n an!
1. Differenz 2er aufeinanderfolgender Glieder.
2. absolute Größe.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Mo 07.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo bär
> Hallo.
>
> Ich werde dann erstmal versuchen die Konvergenz dieser
> Folge zu zeigen.
>
> Monotonie:
> Seien n,m [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]a_{n+1} \le a_{m+1}.[/mm] Dann gilt
wieso kannst du das vorraussetzen? das willst du doch zeigen!
> [mm]\frac{3a_n^2 + 1}{a_n^2 + 3} \le \frac{3am^2 + 1}{a_m^2 + 3}[/mm]
>
> [mm](3a_n^2[/mm] + [mm]1)(a_m^2[/mm] + 3) [mm]\le (3a_m^2[/mm] + [mm]1)(a_n^2[/mm] + 3)
> [mm](3a_n^2a_m^2[/mm] + [mm]9a_n^2[/mm] + [mm]a_m^2[/mm] + 3) [mm]\le (3a_m^2a_n^2[/mm] +
> [mm]9a_m^2[/mm] + [mm]a_n^2[/mm] + 3)
> [mm]8a_n^2 \le 8a_m^2[/mm]
> [mm]a_n \le a_m[/mm]
hiermit hast du eigentlich nichts gezeigt, ausser, wenn an<am folgt [mm] a_{n+1}
> Somit gilt nun n [mm]\le[/mm] m und somit ist die Folge monoton.
Du musst sagen monoton wachsend!
wieso gilt jetzt n<m?
du musst aus der Formel zeigen, dass [mm] a_{n+1}>a_n [/mm] ist.
>
> Beschränktheit: [mm](\frac{3a_n^2 + 1}{a_n^2 + 3} \le[/mm] 2)
>
> (IA)
> Sei n=1. Dann gilt:
> [mm]\frac{3a_n^2 + 1}{a_n^2 + 3}[/mm] = [mm]\frac{3a_1^2 + 1}{a_1^2 + 3}[/mm]
> = [mm]\frac{12 + 1}{4 + 3}[/mm] = [mm]\frac{13}{7} \le[/mm] 2
>
> (IV)
> Die Behauptung gelte für ein fest gewähltes aber
> beliebiges n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> (IS)
> Nun gilt [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\frac{3a_n^2 + 1}{a_n^2 + 3} \le[/mm] 2. und
> somit die Behauptung.
wo zeigst du das denn, du schreibst es einfach hin, wo geht die Vors [mm] a_n<2 [/mm] ein?
Das hier ist kein Beweis.
>
> Ich glaube, dass ich mir das hier ein wenig zu einfach
> gemacht habe, aber ich weiß leider nicht, wie ich das hier
> sonst zeigen kann...
Du musst erst noch [mm] a_n\ge [/mm] 1 zeigen!
hat du den GW raus? dann brauchst du ja eigentlich ne fallende Folge also [mm] a_{n+1}
Gruss leduart
>
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Hallo.
Nochmal zu Aufgabe 3, welche mir jetzt noch fehlt.
(i) Zeige, dass wenn [mm] a_n [/mm] > 0 so folgt [mm] a_{n+1} [/mm] > 0. Sei [mm] a_n \in [/mm] [1,2]. Dann folgt nach bekannten Rechenregeln [mm] 3an^2 [/mm] + 1 > 0 und [mm] an^2 [/mm] + 3 > 0. Somit gilt [mm] a_{n+1} [/mm] > 0.
(ii) Zeige, dass wenn [mm] a_n \leq [/mm] 2 so folgt [mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_n. [/mm] Sei dafür [mm] a_n [/mm] = 2. Dann gilt
[mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{3an^2 + 1}{a_n^2 + 3} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{3a_n^2 + 1}{a_n^2 + 3} [/mm] - [mm] a_n (\frac{a_n^2 + 3}{a_n + 3} [/mm] = [mm] \frac{3a_n^2 + 1 - a_n^3 - 3a_n^2}{a_n^2 + 3} [/mm] = [mm] \frac{1 - a_n^3}{a_n^2 + 3} [/mm] < 0.
Was muss ich jetzt noch genau zeigen und warum?
Ist das sonst soweit alles richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Mi 09.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo bär
> Hallo.
>
> Nochmal zu Aufgabe 3, welche mir jetzt noch fehlt.
>
> (i) Zeige, dass wenn [mm]a_n[/mm] > 0 so folgt [mm]a_{n+1}[/mm] > 0. Sei [mm]a_n \in[/mm]
> [1,2]. Dann folgt nach bekannten Rechenregeln [mm]3an^2[/mm] + 1 > 0
> und [mm]an^2[/mm] + 3 > 0. Somit gilt [mm]a_{n+1}[/mm] > 0.
Hier seh ich nicht, wie du auf [mm] a_n>1 [/mm] kamst, hast du das woanders gezeigt? darüber steht doch nur [mm] a_n>0
[/mm]
> (ii) Zeige, dass wenn [mm]a_n \leq[/mm] 2 so folgt [mm]a_{n+1}[/mm] < [mm]a_n.[/mm]
> Sei dafür [mm]a_n[/mm] = 2.
Das kannst du so nicht machen! denn ausser [mm] a_1 [/mm] ist doch kein [mm] a_n=2 [/mm] ausserdem benutzt du unten doch nur [mm] a_n>1 [/mm] und nicht [mm] a_n=2 [/mm]
> Dann gilt
> [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{3an^2 + 1}{a_n^2 + 3}[/mm] - [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\frac{3a_n^2 + 1}{a_n^2 + 3}[/mm] - [mm]a_n (\frac{a_n^2 + 3}{a_n + 3}[/mm]
> = [mm]\frac{3a_n^2 + 1 - a_n^3 - 3a_n^2}{a_n^2 + 3}[/mm] = [mm]\frac{1 - a_n^3}{a_n^2 + 3}[/mm]
> < 0.
>
> Was muss ich jetzt noch genau zeigen und warum?
falls du wirklich monoton fallend hast und ne untere Schranke bist du fertig und kannst den GW ausrechnen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Honigbär!
Betrachte hier die Differenz zweier beachbarter Folgenglieder:
[mm] $$a_{n+1}-a_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=n+2}^{2n+2}\bruch{1}{k}-\summe_{k=n+1}^{2n}\bruch{1}{k} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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