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Folgen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Do 27.09.2007
Autor: nena1385

Aufgabe
Gibt es eine arithmetische Folge, die gleichzeitig eine geometrische folge ist??

Gibt es eine arithmetische Folge, die gleichzeitig eine geometrische folge ist?? und:
Gibt es eine geometrische folge die gleichzeitig eine fibonacci-folge ist.

Ich weiß natürlich was geom./arithm. Folgen sind, mir fällt allerdings zu diesn aufgabenstellung überhaupt nichts ein. Ich hoffe ihr habt eine Idee.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Do 27.09.2007
Autor: Martin243

Hallo,

gehen wir das doch mal systematisch an.

> Gibt es eine arithmetische Folge, die gleichzeitig eine geometrische folge ist??

Ohne die Folgen zu kennen: Für welche Zahlen d und q gilt denn $a + d = a * q$ und gleichzeitig $a + 2d = a * [mm] q^2$? [/mm]
Wir haben ein Gleichungssytem mit den Unbekannten d und q. Subtrahieren wir nun die erste Gleichung von der ersten, erhalten wir:
$d = [mm] a(q^2 [/mm] - q) = a*q*(q-1)$

Nun machen wir eine Fallunterscheidung für q:
Nehmen wir an, q sei weder 0 noch 1. Dann gilt:
$a = [mm] \bruch{d}{q(q-1)}$ [/mm]
Dann haben wir aber eine konstante Folge, also Widerspruch zur Annahme. Der Fall scheidet also aus.

Sei $q=0$. Dann ist auch $d=0$. Wenn dann auch noch das Anfangsglied gleich 0 ist, dann haben wir eine Folge mit lauter Nullen, die zu beiden Typen von Folgen gehört.

Sei $q=1$. Auch hier muss $d=0$ gelten. Allerdings ist a hier beliebig.

Also sind es alle konstanten Folgen, die diese beiden Kriterien erfüllen.


> Gibt es eine geometrische folge die gleichzeitig eine fibonacci-folge ist.

Hier könnte man so anfangen:
Zu [mm] $a_{i+2} [/mm] = [mm] a_{i+1} [/mm] + [mm] a_{i}$ [/mm] soll ein q gefunden werden, so dass gilt:
[mm] $a_{i+2} [/mm] = [mm] a_{i+1}*q$ [/mm] UND [mm] $a_{i+1} [/mm] = [mm] a_{i}*q$ [/mm]

Zusammen ergibt das [mm] $a_{i+2} [/mm] = [mm] a_i(q+1)$ [/mm]
Hier würde ich auch eine Fallunterscheidung machen.

Für $q=-1$ erhält man wieder die Folge von Nullen.

Für andere q kannst du ja mal überlegen... Es gibt da Berechnungsvorschriften für DIE Fibonaccifolge, die das nahelegen...

Gruß
Martin

Bezug
                
Bezug
Folgen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:26 Mi 12.01.2011
Autor: Ferolei

Hallo, ich muss mich derzeit mit der gleichen Frage beschäftigen


>  
> gehen wir das doch mal systematisch an.
>  > Gibt es eine arithmetische Folge, die gleichzeitig eine

> geometrische folge ist??
>  Ohne die Folgen zu kennen: Für welche Zahlen d und q gilt
> denn [mm]a + d = a * q[/mm] und gleichzeitig [mm]a + 2d = a * q^2[/mm]?
>  Wir
> haben ein Gleichungssytem mit den Unbekannten d und q.
> Subtrahieren wir nun die erste Gleichung von der ersten,
> erhalten wir:
>  [mm]d = a(q^2 - q) = a*q*(q-1)[/mm]
>  

Bis hier hin war ich auch bereits....

> Nun machen wir eine Fallunterscheidung für q:
>  Nehmen wir an, q sei weder 0 noch 1. Dann gilt:
>  [mm]a = \bruch{d}{q(q-1)}[/mm]
>  Dann haben wir aber eine konstante
> Folge, also Widerspruch zur Annahme. Der Fall scheidet also
> aus.
>  

Wieso erkennt man aus diesem Bruch, dass man eine konstante Folge erhält?
a steht doch für das erste Folgeglied, oder?
Wenn jetzt a=5 kann ich doch die Gleichung garnicht erfüllen....dennoch soll bei der konstanten Folge d=0 und q=1 (wenn wir die Nullfolge jetzt für q=0 außer Acht lassen)
Kann mir jemand sagen, wo mein Denkfehler ist?

> Sei [mm]q=0[/mm]. Dann ist auch [mm]d=0[/mm]. Wenn dann auch noch das
> Anfangsglied gleich 0 ist, dann haben wir eine Folge mit
> lauter Nullen, die zu beiden Typen von Folgen gehört.
>  
> Sei [mm]q=1[/mm]. Auch hier muss [mm]d=0[/mm] gelten. Allerdings ist a hier
> beliebig.
>  
> Also sind es alle konstanten Folgen, die diese beiden
> Kriterien erfüllen.
>
>  
> Gruß
>  Martin

Viele Grüße,
Ferolei

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Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:28 Do 13.01.2011
Autor: Ferolei

Guten Abend,

ist meine Frage unklar formuliert? Ich setze die Frage nochmal an die Spitze, in der Hoffnung, dass mir jemand helfen kann.

Vielen lieben Dank
Ferolei

Bezug
                        
Bezug
Folgen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:24 Mo 17.01.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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