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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:36 Do 30.10.2008 | | Autor: | rene_o |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Folgen (an) auf Konvergenz, und geben Sie den Grenzwert a an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Hallo! Ich hänge nun schon länger an diesem Beispiel.
Studiere jetz im ersten Semester und das Fach Analysis liegt mit nicht wirklich! bitte um hilfe danke
[mm] a_2=3 [/mm], [mm] a_n+1=\bruch{1}{2}(a_n+\bruch {3}{a_n}) [/mm]
Danke im Voraus! mfg Rene
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:48 Do 30.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Rene!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Untersuchen Sie die Folgen (an) auf Konvergenz, und geben
> Sie den Grenzwert a an.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. Hallo! Ich hänge nun schon länger
> an diesem Beispiel.
> Studiere jetz im ersten Semester und das Fach Analysis
> liegt mit nicht wirklich! bitte um hilfe danke
> [mm]a_2=3 [/mm], [mm]a_n+1=\bruch{1}{2}(a_n+\bruch {3}{a_n})[/mm]
Ich nehme an, das soll
[mm]a_{n+1}=\bruch{1}{2}(a_n+\bruch {3}{a_n})[/mm]
heißen.
Hast du dir mal die ersten paar Folgenglieder ausgerechnet, damit du eine Vorstellung bekommst, wie die Folge aussieht?
Ich würde es mit Monotonie versuchen: eine monotone, beschränkte Folge ist konvergent. Du müsstest also zum Beispiel zeigen, dass die Folge monoton fallend und nach unten beschränkt ist.
Wenn du weisst, dass die Folge konvergiert, kannst du auf beiden Seiten der Gleichung
[mm]a_{n+1}=\bruch{1}{2}(a_n+\bruch {3}{a_n})[/mm]
den Grenzwert für [mm] $n\to\infty$ [/mm] berechnen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Do 30.10.2008 | | Autor: | rene_o |
Nein Ich habe noch keine Folgeglieder berechnet! Muss ich die Monotonie mit der Vollständigen Induktion beweisen??? mfg
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Hallo rene_o,
> Nein Ich habe noch keine Folgeglieder berechnet! Muss ich
> die Monotonie mit der Vollständigen Induktion beweisen???
> mfg
Nö, zeige die Beschränktheit per Induktion.
Die Monotonie zeigt man üblicherweise, indem man sich [mm] $a_{n+1}-a_n$ [/mm] oder auch [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] anschaut und ausrechnet, ob erstere Differenz >0 (wachsend) oder <0 (fallend) ist oder ob letzterer Quotient >1 (wachsend) oder <1 (fallend) ist.
Hier geht's bequem mit der Differenz [mm] $a_{n+1}-a_n$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Do 30.10.2008 | | Autor: | rene_o |
Ok aber irgendwie versteh i des alles ned so ganz genau! a1 ist ein Folgeglied! oder? Kann mir vl jemand diesen Schritt genauer zeigen mit [mm] |a_n_+_1 - a_n| [/mm]. Danke mfg
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Hallo Rene!
[mm] $a_1$ [/mm] ist das 1. Folgenglied. aber hier scheint die Folge erst mit [mm] $a_{\red{2}} [/mm] \ := \ 3$ zu starten.
Für die Berechnung von [mm] $a_{n+1}-a_n$ [/mm] einfach die Rekursionsvorschrift einsetzen und zusammenfassen:
[mm] $$a_{n+1}-a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(a_n+\bruch{3}{a_n}\right)-a_n [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Do 30.10.2008 | | Autor: | rene_o |
Laut meinen berechnungen ist die folgen monoton wachsend. Stimmt das? mfg rene
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Hallo Rene!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da habe ich genau das Gegenteil heraus. Was / wie hast Du denn gerechnet?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Do 30.10.2008 | | Autor: | rene_o |
Ja stimmt habe mich nur verrechnet! Jetzt passts! Ich hätte noch eine Frage zu einem Bsp.: Finden sie einen geschlossenen ausdruck für die Partitialsumme der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+1)(n+2)} [/mm] und bestimmen Sie damit die Summe der Reihe! (Hinweis: [mm] \bruch{2}{n(n+1)(n+2)}= \bruch{1}{n}-\bruch{2}{n+1}+\bruch{1}{n+2}[/mm])
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Hallo Rene!
Bitte eröffne das nächste Mal für eine neue Aufgabe auch einen neuen Thread.
[mm] $$\bruch{1}{n}-\bruch{2}{n+1}+\bruch{1}{n+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}\right)-\left(\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2}\right) [/mm] $$
Und nun hast Du hier zwei Teleskopsummen vorliegen.
Gruß vom
Roadrunner
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