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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:21 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo,
und mal wieder habe ich eine bzw. zwei Fragen zu einem Übungszettel:
Die erste Aufgabe lautet:
Es ([mm]a_n[/mm]) eine Folge reeller Zahlen. Zeige, dass ([mm]a_n[/mm]) eine monoton fallende und eine monoton wachsende Teilfolge besitzt.
Geht das überhaupt? Wenn ich [mm]a_n = n[/mm] wähle, dann gibt es eine Teilfolge, die monoton steigend ist (z. B. [mm] b_n = a_{2n}[/mm]), aber doch keine Teilfolge, die monoton fallend ist, da doch jedes [mm]a_n < a_{n+1}[/mm].
Die zweite Aufgabe:
Es sei ([mm]a_n[/mm]) eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Zeige:
Für jeden Häufungspunkt [mm]b[/mm] von ([mm]a_n[/mm]) gilt
[mm]\limes_{n \rightarrow \infty} \inf\ a_n \le b \le \limes_{n \rightarrow \infty} \sup\ a_n[/mm].
Hierbei ist [mm]\limes_{n \rightarrow \infty} \inf\ a_n:= \sup\limits_{n\in\IN}\ \inf\limits_{m\ge n}\ a_m[/mm] und [mm]\limes_{n \rightarrow \infty}\ \sup\ a_n:= \inf\limits_{n\in\IN}\ \sup\limits_{m\ge n}\ a_m[/mm]
Ich kann mit diesem [mm]\inf\limits_{n\in\IN}\ \sup\limits_{m\ge n}\ a_m[/mm] aber nichts anfangen. sup heißt ja, dass ich die kleinste obere Schranke von der Folge nehme, also erhalte ich eine Zahl (Folgenglied). Und wenn ich jetzt noch inf von dieser Zahl nehme, dann erhalte ich doch wieder die Zahl. Oder wie genau muss ich mir das vorstellen? Ich verstehe auch nicht was das mit dem [mm]m\ge n[/mm] auf sich hat. Soll ich die größte von größten unteren Schranken betrachten? Aber es gibt doch nur eine größte untere Schranke... Ich bin ein bisschen verwirrt und weiß gar nich was von mir verlangt wird.
Es wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, was ich zu tun habe 
(Ich fahre leider morgen und übermorgen weg und kann deshalb erst Dienstag wieder antworten, bin aber bis 8 Uhr morgen früh da )
Vielen Dank im Voraus
Bernhard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 So 30.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Frosty,
> Die erste Aufgabe lautet:
> Es ([mm]a_n[/mm]) eine Folge reeller Zahlen. Zeige, dass ([mm]a_n[/mm]) eine
> monoton fallende und eine monoton wachsende Teilfolge
> besitzt.
>
> Geht das überhaupt? Wenn ich [mm]a_n = n[/mm] wähle, dann gibt es
> eine Teilfolge, die monoton steigend ist (z. B. [mm]b_n = a_{2n}[/mm]),
> aber doch keine Teilfolge, die monoton fallend ist, da doch
> jedes [mm]a_n < a_{n+1}[/mm].
Mit der ursprünglichen Aussage komme ich auch nicht klar, wegen deines Gegenbeispiels.
Die Aufgabenstellung ist aber richtig wiedergegeben?
Es heißt nicht "monoton fallende oder eine monoton wachsende"?
Oder über die Folgen ist noch etwas anderes bekannt?
Oder man soll es für konkrete Folgen zeigen?
Oder die Behauptung einfach nur wiederlegen?
> Die zweite Aufgabe:
> Es sei ([mm]a_n[/mm]) eine beschränkte Folge reeller Zahlen.
> Zeige:
> Für jeden Häufungspunkt [mm]b[/mm] von ([mm]a_n[/mm]) gilt
> [mm]\limes_{n \rightarrow \infty} \inf\ a_n \le b \le \limes_{n \rightarrow \infty} \sup\ a_n[/mm].
>
> Hierbei ist [mm]\limes_{n \rightarrow \infty} \inf\ a_n:= \sup\limits_{n\in\IN}\ \inf\limits_{m\ge n}\ a_m[/mm]
> und [mm]\limes_{n \rightarrow \infty}\ \sup\ a_n:= \inf\limits_{n\in\IN}\ \sup\limits_{m\ge n}\ a_m[/mm]
>
>
> Ich kann mit diesem [mm]\inf\limits_{n\in\IN}\ \sup\limits_{m\ge n}\ a_m[/mm]
> aber nichts anfangen. sup heißt ja, dass ich die kleinste
> obere Schranke von der Folge nehme, also erhalte ich eine
> Zahl (Folgenglied).
Diese Zahl muß nicht unbedingt ein Folgenglied sein.
> Und wenn ich jetzt noch inf von dieser
> Zahl nehme, dann erhalte ich doch wieder die Zahl. Oder wie
> genau muss ich mir das vorstellen? Ich verstehe auch nicht
> was das mit dem [mm]m\ge n[/mm] auf sich hat. Soll ich die größte
> von größten unteren Schranken betrachten? Aber es gibt doch
> nur eine größte untere Schranke... Ich bin ein bisschen
> verwirrt und weiß gar nich was von mir verlangt wird.
Schauen wir uns zunächst einmal das Argument des [mm] $\sup\limits_{n\in\IN}$ [/mm] an, also [mm]\inf\limits_{m\ge n}\ a_m[/mm].
Durch [mm]b_n:=\inf\limits_{m\ge n}\ a_m[/mm] wird eine neue Folge [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] definiert, bestehend aus den unteren Grenzen bestimmter Teilfolgen von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$.
[/mm]
("Untere Grenze" = "größte untere Schranke")
Die Teilfolgen sind sehr einfach gebildet, ich denke, es wird klar, wenn ich die ersten Folgenglieder von [mm] b_n [/mm] mal explizit hinschreibe:
[mm] $b_0 [/mm] := [mm] \inf\{a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots\}$
[/mm]
[mm] $b_1 [/mm] := [mm] \inf\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\ldots\}$
[/mm]
[mm] $b_2 [/mm] := [mm] \inf\{a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\ldots\}$
[/mm]
[mm] $b_3 [/mm] := [mm] \inf\{a_3,a_4,a_5,a_6,a_7\ldots\}$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
Es wird also von der ursprünglichen Folge immer ein Element weggelassen und von den übrig bleibenden (unendlich vielen) Folgengliedern immer die untere Grenze genommen.
Diese Folge unterer Grenzen (also die Folgenglieder von [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$) [/mm] muß also nicht konstant sein, so dass es Sinn macht, davon wieder eine obere Grenze zu bilden:
[mm] $\sup\limits_{n\in\IN}\ b_n=\sup\limits_{n\in\IN}\ \inf\limits_{m\ge n}\ a_m=:\limes_{n \rightarrow \infty} \inf\ a_n$
[/mm]
Ich hoffe, damit sind wenigstens schon mal die Bezeichnungsweisen klar geworden.
Bei diesem Beweis würde ich so vorgehen:
i) Zeigen, dass [mm] $\limes_{n \rightarrow \infty} \inf\ a_n$ [/mm] ein Häufungspunkt der Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist.
ii) Zeigen, dass gilt: [mm] $\limes_{n \rightarrow \infty} \inf\ a_n\le [/mm] b$ (b Häufungspunkt von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$).
[/mm]
Wenn du die Behauptung gezeigt hast, darfst du [mm] $\limes_{n \rightarrow \infty} \inf\ a_n$ [/mm] den kleinsten Häufungspunkt der Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] nennen und [mm] $\limes_{n \rightarrow \infty} \sup\ a_n$ [/mm] entsprechend den größten Häufungspunkt.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Mo 31.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo
> Es sei ([mm]a_n[/mm]) eine Folge reeller Zahlen. Zeige, dass ([mm]a_n[/mm]) eine
> monoton fallende und eine monoton wachsende Teilfolge besitzt.
>
>
> Mit der ursprünglichen Aussage komme ich auch nicht klar,
> wegen deines Gegenbeispiels.
> Die Aufgabenstellung ist aber richtig wiedergegeben?
> Es heißt nicht "monoton fallende oder eine monoton
> wachsende"?
> Oder über die Folgen ist noch etwas anderes bekannt?
> Oder man soll es für konkrete Folgen zeigen?
> Oder die Behauptung einfach nur wiederlegen?
Die Aufgabe steht genau so da (nur die beiden Zeilen) und es heißt auch und. Vielleicht ein Fehler vom Aufgabensteller oder vielleicht wollte er uns nur testen oder so
> Die zweite Aufgabe:
> Es sei ([mm]a_n[/mm]) eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Zeige:
> Für jeden Häufungspunkt [mm]b[/mm] von ([mm]a_n[/mm]) gilt
> [mm]\limes_{n \rightarrow \infty} \inf\ a_n \le b \le \limes_{n \rightarrow \infty} \sup\ a_n[/mm].
> Hierbei ist [mm]\limes_{n \rightarrow \infty} \inf\ a_n:= \sup\limits_{n\in\IN}\ \inf\limits_{m\ge n}\ a_m[/mm] und [mm]\limes_{n \rightarrow \infty}\ \sup\ a_n:= \inf\limits_{n\in\IN}\ \sup\limits_{m\ge n}\ a_m[/mm]
>
> Schauen wir uns zunächst einmal das Argument des
> [mm] $\sup\limits_{n\in\IN}$ [/mm] an, also [mm]\inf\limits_{m\ge n}\ a_m[/mm].
> Durch [mm]b_n:=\inf\limits_{m\ge n}\ a_m[/mm] wird eine neue Folge
> [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] definiert, bestehend aus den unteren
> Grenzen bestimmter Teilfolgen von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$.
[/mm]
> ("Untere Grenze" = "größte untere Schranke")
> Die Teilfolgen sind sehr einfach gebildet, ich denke, es
> wird klar, wenn ich die ersten Folgenglieder von [mm] b_n [/mm] mal
> explizit hinschreibe:
> [mm] $b_0 [/mm] := [mm] \inf\{a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots\}$
[/mm]
> [mm] $b_1 [/mm] := [mm] \inf\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\ldots\}$
[/mm]
> [mm] $b_2 [/mm] := [mm] \inf\{a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\ldots\}$
[/mm]
> [mm] $b_3 [/mm] := [mm] \inf\{a_3,a_4,a_5,a_6,a_7\ldots\}$
[/mm]
> [mm] $\vdots$
[/mm]
> Es wird also von der ursprünglichen Folge immer ein Element
> weggelassen und von den übrig bleibenden (unendlich vielen)
> Folgengliedern immer die untere Grenze genommen.
> Diese Folge unterer Grenzen (also die Folgenglieder von
> [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$) [/mm] muß also nicht konstant sein, so dass es
> Sinn macht, davon wieder eine obere Grenze zu bilden:
> [mm] $\sup\limits_{n\in\IN}\ b_n=\sup\limits_{n\in\IN}\ [/mm]
> [mm] \inf\limits_{m\ge n}\ a_m=:\limes_{n \rightarrow \infty} [/mm]
> [mm] \inf\ a_n$
[/mm]
> Ich hoffe, damit sind wenigstens schon mal die
> Bezeichnungsweisen klar geworden.
Das bedeutet also nichts anderes als die größte der unteren Schranken, der gesamten Teilfolgen von ([mm]a_n[/mm])...
> Bei diesem Beweis würde ich so vorgehen:
> i) Zeigen, dass [mm] $\limes_{n \rightarrow \infty} \inf\ a_n$ [/mm]
> ein Häufungspunkt der Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist.
> ii) Zeigen, dass gilt: [mm] $\limes_{n \rightarrow \infty} \inf\ a_n\le [/mm] b$ (b Häufungspunkt von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$).
[/mm]
> Wenn du die Behauptung gezeigt hast, darfst du [mm] $\limes_{n
> \rightarrow \infty} \inf\ a_n$ [/mm] den kleinsten Häufungspunkt
> der Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] nennen und [mm] $\limes_{n
> \rightarrow \infty} \sup\ a_n$ [/mm] entsprechend den größten
> Häufungspunkt.
Vielen Dank, ich werde mich morgen an die Aufgabe setzen und mal gucken wie ich weiter komme.
Noch einen schönen Pfingstmontagabend.
Bernhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Di 01.06.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo marc und alle anderen,
dank deiner Erläuterungen was
[mm]\limes_{n \rightarrow \infty} \inf\ a_n:= \sup\limits_{n\in\IN}\ \inf\limits_{m\ge n}\ a_m[/mm]
bedeutet, habe ich eine Stelle im Script gefunden, wo der Beweis so ziemlich vollständig geführt wird.
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~roeckner/script/0-13.pdf (Seite 41 unten)
Ich habe ihn jetzt einfach abgeschrieben... Ich verstehe aber nicht, warum wir eine Aufgabe bekommen, die schon im Script gelöst wurde??? Egal, wir bekommen ja auch Aufgaben, die man nicht lösen kann.
Danke marc, dass du mir erklärt hast, was in der Aufgabe verlangt war.
Bernhard
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