Folgen Bildungsgesetz \Vorschr < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:05 Fr 03.11.2006 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Berechnen sie die ersten 5 Folgeglieder. Überlegen Sie sich ein allgemeines Bildungsgesetz und zeigen Sie, dass dieses Bildungsgesetzt die Rekursionsgleichung sowie den Startwert erfüllt. Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz.
[mm] a_{0}=\wurzel{2}
[/mm]
[mm] x_{n+1}=\wurzel{2*a_{n}} [/mm] |
Hi,
ich wieder. Erstmal danke für die schnelle und gute Hilfe bisher.
Die Frage oben ist im Grunde kein Problem. ich hab nur enorme Schwierigkeiten mit dem Überlegen des Bildungsgesetztes, der Rest klappt. Bildungsgesetzte für einfache Folgen bekomme ich hin, aber bei Aufgaben wie der obigen ist schon Schluss.
Meine Frage ist: Wie gehe ich das mit dem Bildungsgesetzt am besten an? Kann man das mathematisch ausrechnen oder muss man das einfach auf den ersten oder zweiten Blick sehen? Diese Fragen beziehen sich nicht nur auf die obige Aufgabe sondern allgemein auf Bildungsgesetzte.
Ich weiss dass man erst die Folgeglieder berechne muss (wie im Fall oben die ersten 5) und von denen kann man dann auf das Bildungsgesetzt schliessen.
Das Bildungsgesetzt der obigen aufgabe lautet:
[mm] a_{n}=2^{\bruch{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}
[/mm]
Die Lösung erscheint mir schon logisch, aber ich wäre da nie alleine drauf gekommen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG
Stefan
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Hio Poly,
guck dir doch mal die ersten Folgeglieder an:
[mm] a_0 [/mm] = [mm] \sqrt{2} [/mm] = [mm] 2^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] a_1 [/mm] = [mm] \sqrt{2*2^{\bruch{1}{2}}} [/mm] = [mm] \sqrt{2^{\bruch{1}{2}+1}}= \sqrt{2^{\bruch{3}{2}}} [/mm] = [mm] 2^{\bruch{3}{4}}
[/mm]
[mm] a_2 [/mm] = ... = [mm] 2^{\bruch{7}{8}}
[/mm]
Im Endeffekt brauchst du dir also nur die Exponenten anzuschauen und da fällt dir dann auf, daß unter dem Bruch nichts anderes steht, als die Folge [mm] 2^n [/mm] und oben immer eins weniger (also [mm] 2^n [/mm] - 1), letztendlich interessiert also nur der Startwert [mm] a_0 [/mm] und da der Nenner für n=0 eben [mm] 2^1 [/mm] ist (also [mm] 2^{n+1}), [/mm] bleibt für die Folge nichts andere übrig als so auszusehen, wie du sie angegeben hast.
Gruß,
Gono.
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