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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Kayle |
| Aufgabe | Sei H ein Hilbertraum, [mm] K_1\subset [/mm] H, [mm] K_2\subset [/mm] H seien konvexe Mengen mit 0 < [mm] d(K_1,K_2) [/mm] = [mm] inf\{|x-y| | x\in K_1, y\in K_2\}
[/mm]
und die Folgen [mm] \{x_n\}_{n\in\IN}\subset K_1, \{y_n\}_{n\in\IN}\subset K_2 [/mm] mögen der Bedingung
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|x_n-y_n|=d(K_1,K_2) [/mm] genügen. Zeigen Sie:
i) [mm] \limes_{i,j\rightarrow\infty}[/mm] [mm]\bruch{}{|x_i-y_i| |x_j-y_j|} = 1[/mm]
ii) Es gibt eine Teilfolge [mm] i_k [/mm] mit
[mm] |x_i_{n+1}-y_i_{n+1}-x_i_{n}+y_i_{n}| \le 2^{-n} |x_i_{n}-y_i_{n}|[/mm]
iii) Falls [mm] K_1={x}, 0
[mm]\le 0 \forall y\in K_2[/mm] |
Hallo,
also bei
i) [mm] \limes_{i,j\rightarrow\infty}[/mm] [mm]\bruch{}{|x_i-y_i| |x_j-y_j|} = 1[/mm]
weiß ich ja, dass [mm] |x_i-y_i| |x_j-y_j|=d^2(K_1,K_2) [/mm] ist, da gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|x_n-y_n|=d(K_1,K_2).
[/mm]
Somit müsste auch [mm] =d^2(K_1,K_2) [/mm] sein. Ich hab probiert das irgendwie umzuschreiben.
[mm] =...+ x_i x_j-x_i y_j-y_i x_j+y_i y_j+...
[/mm]
aber weiter komm ich leider nicht. Hat Jemand einen Ratschlag oder ist mein bisheriges Vorgehen falsch?
Zu ii) und iii) bräuchte ich auch ein paar Tipps, da weiß ich nicht wie ich es zeigen kann.
Viele Grüße
Kayle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Sa 20.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kayle!
> Sei H ein Hilbertraum, [mm]K_1\subset[/mm] H, [mm]K_2\subset[/mm] H seien
> konvexe Mengen mit 0 < [mm]d(K_1,K_2)[/mm] = [mm]inf\{|x-y| | x\in K_1, y\in K_2\}[/mm]
>
> und die Folgen [mm]\{x_n\}_{n\in\IN}\subset K_1, \{y_n\}_{n\in\IN}\subset K_2[/mm]
> mögen der Bedingung
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|x_n-y_n|=d(K_1,K_2)[/mm] genügen.
> Zeigen Sie:
>
> i) [mm]\limes_{i,j\rightarrow\infty}[/mm]
> [mm]\bruch{}{|x_i-y_i| |x_j-y_j|} = 1[/mm]
>
> ii) Es gibt eine Teilfolge [mm]i_k[/mm] mit
> [mm]|x_i_{n+1}-y_i_{n+1}-x_i_{n}+y_i_{n}| \le 2^{-n} |x_i_{n}-y_i_{n}|[/mm]
>
> iii) Falls [mm]K_1=\{x\}, 0
> Abschluss von [mm]K_2[/mm] liegt, so gilt
> [mm]\le 0 \forall y\in K_2[/mm]
> Hallo,
>
> also bei
>
> i) [mm]\limes_{i,j\rightarrow\infty}[/mm]
> [mm]\bruch{}{|x_i-y_i| |x_j-y_j|} = 1[/mm]
>
> weiß ich ja, dass [mm]|x_i-y_i| |x_j-y_j|=d^2(K_1,K_2)[/mm] ist,
Das ist falsch. Du kannst nur aus der Definition von [mm] $d(K_1,K_2)$ [/mm] folgern, dass
[mm] |x_i-y_i| |x_j-y_j| \ge d^2(K_1,K_2)[/mm]
ist.
Probier's mal mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung. Damit kannst du sofort zeigen, dass der Betrag des gesuchten Grenzwerte [mm] $\le [/mm] 1$ ist.
> Zu ii) und iii) bräuchte ich auch ein paar Tipps, da weiß
> ich nicht wie ich es zeigen kann.
Ich vermute mal, dass du dafür ausnutzen musst, dass die beiden Mengen konvex sind.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:52 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Kayle |
> Hallo Kayle!
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> > Sei H ein Hilbertraum, [mm]K_1\subset[/mm] H, [mm]K_2\subset[/mm] H seien
> > konvexe Mengen mit 0 < [mm]d(K_1,K_2)[/mm] = [mm]inf\{|x-y| | x\in K_1, y\in K_2\}[/mm]
>
> >
> > und die Folgen [mm]\{x_n\}_{n\in\IN}\subset K_1, \{y_n\}_{n\in\IN}\subset K_2[/mm]
> > mögen der Bedingung
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|x_n-y_n|=d(K_1,K_2)[/mm]
> genügen.
> > Zeigen Sie:
> >
> > i) [mm]\limes_{i,j\rightarrow\infty}[/mm]
> > [mm]\bruch{}{|x_i-y_i| |x_j-y_j|} = 1[/mm]
> >
> > ii) Es gibt eine Teilfolge [mm]i_k[/mm] mit
> > [mm]|x_i_{n+1}-y_i_{n+1}-x_i_{n}+y_i_{n}| \le 2^{-n} |x_i_{n}-y_i_{n}|[/mm]
>
> >
> > iii) Falls [mm]K_1=\{x\}, 0
> > Abschluss von [mm]K_2[/mm] liegt, so gilt
> > [mm]\le 0 \forall y\in K_2[/mm]
> > Hallo,
> >
> > also bei
> >
> > i) [mm]\limes_{i,j\rightarrow\infty}[/mm]
> > [mm]\bruch{}{|x_i-y_i| |x_j-y_j|} = 1[/mm]
> >
> > weiß ich ja, dass [mm]|x_i-y_i| |x_j-y_j|=d^2(K_1,K_2)[/mm] ist,
>
> Das ist falsch. Du kannst nur aus der Definition von
> [mm]d(K_1,K_2)[/mm] folgern, dass
>
> [mm]|x_i-y_i| |x_j-y_j| \ge d^2(K_1,K_2)[/mm]
>
> ist.
>
> Probier's mal mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.
> Damit kannst du sofort zeigen, dass der Betrag des
> gesuchten Grenzwerte [mm]\le 1[/mm] ist.
>
So Cauchy-Schwarz-Ungleichung: [mm] ||\le ||x||*||y|| [/mm]
Kann ich damit schlussfolgern, dass [mm] \le |x_i-y_i| |x_j-y_j|[/mm] und damit folgt dann [mm] \limes_{i,j\rightarrow\infty}\bruch{|x_i-y_i| |x_j-y_j|}{|x_i-y_i| |x_j-y_j|}=1 [/mm] ?
> > Zu ii) und iii) bräuchte ich auch ein paar Tipps, da weiß
> > ich nicht wie ich es zeigen kann.
>
> Ich vermute mal, dass du dafür ausnutzen musst, dass die
> beiden Mengen konvex sind.
>
> Viele Grüße
> Rainer
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(Frage) überfällig | | Datum: | 18:13 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
stimmt das bei (i) soweit?
Ich hab jetzt auch (ii) und (iii) probiert, aber ich bekomm da nichts sinnvolles hin, hat vielleicht Jemand nen Beweisansatz geben? Oder eine Idee..
VG
Kayle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 22.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 09:53 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
kann mir bitte Jemand sagen, ob meine Lösung für (i) richtig ist. Wie gesagt, ich denke ich hab die Cauchy-Schwarz-Ungleichung falsch verwendet, wüsste aber nicht, wie ich es sonst machen soll..
Und bei (i),(ii) weiß ich immernoch nicht weiter, wäre dankbar wenn man mir da auch helfen könnte!
Viele Grüße
> > Hallo Kayle!
> >
> > > Sei H ein Hilbertraum, [mm]K_1\subset[/mm] H, [mm]K_2\subset[/mm] H seien
> > > konvexe Mengen mit 0 < [mm]d(K_1,K_2)[/mm] = [mm]inf\{|x-y| | x\in K_1, y\in K_2\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > und die Folgen [mm]\{x_n\}_{n\in\IN}\subset K_1, \{y_n\}_{n\in\IN}\subset K_2[/mm]
> > > mögen der Bedingung
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|x_n-y_n|=d(K_1,K_2)[/mm]
> > genügen.
> > > Zeigen Sie:
> > >
> > > i) [mm]\limes_{i,j\rightarrow\infty}[/mm]
> > > [mm]\bruch{}{|x_i-y_i| |x_j-y_j|} = 1[/mm]
> >
> >
> > > ii) Es gibt eine Teilfolge [mm]i_k[/mm] mit
> > > [mm]|x_i_{n+1}-y_i_{n+1}-x_i_{n}+y_i_{n}| \le 2^{-n} |x_i_{n}-y_i_{n}|[/mm]
>
> >
> > >
> > > iii) Falls [mm]K_1=\{x\}, 0
> > > Abschluss von [mm]K_2[/mm] liegt, so gilt
> > > [mm]\le 0 \forall y\in K_2[/mm]
> > > Hallo,
> > >
> > > also bei
> > >
> > > i) [mm]\limes_{i,j\rightarrow\infty}[/mm]
> > > [mm]\bruch{}{|x_i-y_i| |x_j-y_j|} = 1[/mm]
> >
> >
> > > weiß ich ja, dass [mm]|x_i-y_i| |x_j-y_j|=d^2(K_1,K_2)[/mm] ist,
> >
> > Das ist falsch. Du kannst nur aus der Definition von
> > [mm]d(K_1,K_2)[/mm] folgern, dass
> >
> > [mm]|x_i-y_i| |x_j-y_j| \ge d^2(K_1,K_2)[/mm]
> >
> > ist.
> >
> > Probier's mal mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.
> > Damit kannst du sofort zeigen, dass der Betrag des
> > gesuchten Grenzwerte [mm]\le 1[/mm] ist.
> >
>
So Cauchy-Schwarz-Ungleichung: [mm]||\le ||x||*||y||[/mm]
Kann ich damit schlussfolgern, dass [mm] \le |x_i-y_i| |x_j-y_j|[/mm] und damit folgt dann [mm]\limes_{i,j\rightarrow\infty}\bruch{|x_i-y_i| |x_j-y_j|}{|x_i-y_i| |x_j-y_j|}=1[/mm] ?
>
> > > Zu ii) und iii) bräuchte ich auch ein paar Tipps, da weiß
> > > ich nicht wie ich es zeigen kann.
> >
> > Ich vermute mal, dass du dafür ausnutzen musst, dass die
> > beiden Mengen konvex sind.
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mi 24.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Mo 22.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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