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Folgen und Konvergenz: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:56 So 13.01.2008
Autor: Timedrawer

Aufgabe
Untersuchen Sie die Folge [mm] x_{n}=\wurzel{n^{2}+n}-n [/mm] auf Konvergenz und geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an.

Einfach durch Nachrechnen komme ich auf den Grenzwert 0,5. Das habe ich aber auf einem Weg rausgefunden, der für Schulmathematik ok ist. Wie kann ich einen korrekten mathematischen Beweis führen?
Vielen Dank

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Folgen und Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 So 13.01.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Tony,

[mm] \frac{1}{2} [/mm] als GW stimmt [daumenhoch]

Aber was genau ist bei dir "einfach Nachrechnen"? ;-)

Vllt. war ja das schon genau der richtige Weg.

Bei solchen Differenzen von/mit Wurzelausdrücken empfiehlt sich oft eine Erweiterung so, dass du die 3. binomische Formel verwenden kannst

Hier erweitere also [mm] $\sqrt{n^2+n}-n$ [/mm] mit [mm] $\sqrt{n^2+n}\red{+}n$ [/mm]

Das gibt: [mm] $\sqrt{n^2+n}-n=\frac{(\sqrt{n^2+n}-n)\cdot{}(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}$ [/mm]

Nun fasse den Zähler zusammen (3. binom. Formel !!) und im Nenner klammere unter der Wurzel [mm] $n^2$ [/mm] aus und ziehe es aus der Wurzel

Dann noch einmal im Nenner ausklammern und den Grenzübergang machen


Gruß

schachuzipus

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