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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Do 09.03.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen ist richtig ?? (Man begründe die Antwort kurz)
(i) Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ist konvergent.
(ii) Die Folge [mm] (x_n) [/mm] posotiver reeller Zahlen konvergiert genau dann, wenn die Folge [mm] \bruch{1} {x_n} [/mm] konvergiert
(iii) Die Folge [mm] (x_n) [/mm] reller Zahlen konvergiert genau dann, wenn die Folge [mm] (x_n [/mm] ²) konvergiert
(iv) [mm] (x_n) [/mm] sei eine Folge positiver reller Zahlen mit 0 < [mm] x_n [/mm] < [mm] \bruch{1}{n²} [/mm] und n>0. Konvergiert dann die unendliche Reihe [mm] \summe_{i=1} ^{\infty}{(-1)^n x_n} [/mm] stets, manchmal oder je nach Wahl der Folge [mm] (x_n) [/mm] ?
(v) Folgt aus der Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}{\bruch{a_n}{n} } [/mm] stets auch die Konvergenz von [mm] \summe_{i=1}^{\infty}{(-1)^n \bruch{a_n}{n³} }
[/mm]
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wäre super, wenn ihr mir weiter helfen könntet, ich bin mir beim Beantworten dieser Fragen nicht sicher...
(i) stimmt, aber wie begründe ich das?
(ii) Gegenbeispiel: [mm] \bruch{1}{n} [/mm] konvergiert und Folge n divergiert, oder?
(iii) dazu fällt mir nur ein beispiel ein wos stimmt: [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] \bruch{1}{n²} [/mm] aber das ist ja kein beweis...??
(iv) nach dem sandwichkriterium gilt [mm] x_n [/mm] -> 0
Leibniz sagt dass [mm] x_n [/mm] dann noch monoton fallend sein muss, damit die reihe konvergiert, richtig?
(v) [mm] \bruch{a_n}{n³} [/mm] < [mm] \bruch{a_n}{n} [/mm] Konvergenz nach Majorantenkriterium. d.h. wenn [mm] \bruch{a_n}{n³}- [/mm] monoton fallend mit ->0, dann folgt Konvergenz nach Leibniz... ??!?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
zu (iii):
Da $x_n ^{2}$ konvergent ist kann man die limesrechenregeln anwenden:
nenne mal: $a_n:=x_n ^{2}$
$ \wurzel{a_n}=x_n=\wurzel{a}=x}$
(ii),(iv),(v) sehe ich genauso.
zu (i) hab ich was im netz gefunden:
www.mathematik.uni-ulm.de/matheIII/haase/AnaII/an1skr.pdf
S. 27 Satz 2.2.2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Do 09.03.2006 | | Autor: | felixf |
> zu (iii):
> Da [mm]x_n ^{2}[/mm] konvergent ist kann man die limesrechenregeln
> anwenden:
>
> nenne mal: [mm]a_n:=x_n ^{2}[/mm]
> [mm]\wurzel{a_n}=x_n=\wurzel{a}=x}[/mm]
Einmal fehlt hier sicher ein Limes. Und weiterhin: Die [mm] $x_n$ [/mm] muessen nicht [mm] $\ge [/mm] 0$ sein! Damit muss [mm] $\sqrt{a_n}$ [/mm] nicht umbedingt [mm] $x_n$ [/mm] sein!
(Aussage (iii) ist uebrigens falsch. Ein sehr einfaches Gegenbeispiel kann man finden, wenn man auf das Vorzeichenproblem achtet.)
> (ii),(iv),(v) sehe ich genauso.
Bei (iv) konvergiert die Reihe immer. Das kann man sehr leicht mit dem Majorantenkriterium zeigen.
Leibniz gilt uebrigens nur in die eine Richtung: Wenn [mm] $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k$ [/mm] konvergiert mit [mm] $a_k \ge [/mm] 0$, muss nicht [mm] $a_k$ [/mm] monoton fallend sein!
Zu (v): Die Aussage stimmt, die Begruendung geht so allerdings nicht. Ihr benoetigt, dass [mm] $\frac{a_n}{n}$ [/mm] eine Nullfolge ist, und dann das Majorantenkriterium. (Die hintere Reihe konvergiert sogar absolut, auch wenn die vordere das nicht tut.)
> zu (i) hab ich was im netz gefunden:
> www.mathematik.uni-ulm.de/matheIII/haase/AnaII/an1skr.pdf
> S. 27 Satz 2.2.2
(Ohne die Quelle angeschaut zu haben:)
(ii) kann man sehr einfach mit der [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] von Konvergenz zeigen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Do 09.03.2006 | | Autor: | Mr.Peanut |
oh jeh da hab ich ja voll daneben gelegen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Do 09.03.2006 | | Autor: | Riley |
vielen vielen dank für die erklärungen !!! ;))
du sagst (iv) konvergiert immer, langt dann folgendes als Begründung:
[mm] \summe_{i=1}^{n} {(-1)^n x_n} [/mm] < [mm] \summe_{i=1}^{n} {\bruch{1}{n²}}?
[/mm]
und bei der (v) wie sollte ich das da hinschreiben? einmal dass [mm] \bruch{a_n}{n} [/mm] -> 0 und [mm] \bruch{a_n}{n} [/mm] > [mm] \bruch{a_n}{n³} [/mm] (Major.krit.)
wie siehst du das, dass die zweite reihe sogar absolut konvergiert, auch wenn es die erste nicht tut???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Do 09.03.2006 | | Autor: | felixf |
> du sagst (iv) konvergiert immer, langt dann folgendes als
> Begründung:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} {(-1)^n x_n}[/mm] < [mm]\summe_{i=1}^{n} {\bruch{1}{n²}}?[/mm]
Nicht ganz, da in der Reihe auf der linken Seite negative Summenden auftreten. Zum Beispiel ist ja auch [mm] $-\frac{1}{n} [/mm] < [mm] \frac{1}{n^2}$, [/mm] womit die Reihe ueber das linke aber nicht konvergiert :)
Es ist [mm] $|(-1)^n x_n| [/mm] = [mm] x_n [/mm] < [mm] \frac{1}{n^2}$, [/mm] womit die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n x_n$ [/mm] absolut konvergiert. Absolut konvergente Reihen sind jedoch insbesondere auch konvergent.
> und bei der (v) wie sollte ich das da hinschreiben? einmal
> dass [mm]\bruch{a_n}{n}[/mm] -> 0 und [mm]\bruch{a_n}{n}[/mm]
Das reicht nicht (und ist i.a. auch falsch), da die [mm] $a_n$ [/mm] auch negativ sein koennen.
Aus [mm] $\frac{a_n}{n} \to [/mm] 0$ folgt ja, dass [mm] $\left| \frac{a_n}{n} \right|$ [/mm] fuer fast alle $n$ kleiner als $1$ ist. Damit ist [mm] $\left|(-1)^n \frac{a_n}{n^3}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{a_n}{n}\right| \cdot \frac{1}{n^2}$ [/mm] fuer fast alle $n$ kleiner als [mm] $\frac{1}{n^2}$.
[/mm]
Daraus folgt dann mit dem Majorantenkriterium die absolute Konvergenz von [mm] $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{a_n}{n^3}$, [/mm] und somit auch wieder die Konvergenz.
LG Felix
> [mm]\bruch{a_n}{n³}[/mm] (Major.krit.)
> wie siehst du das, dass die zweite reihe sogar absolut
> konvergiert, auch wenn es die erste nicht tut???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Do 09.03.2006 | | Autor: | Riley |
ahso... *lichtaufgeh*... vielen vielen dank für deine erklärungen - da wär ich alleine nie draufgekommen.... ich glaub ich habs verstanden (muss es mir aber in ruhe nochmal anschauen...)
dankeschön! ;)
Lg Riley ;)
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