Folgen und Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Es sei [mm] (b_n) [/mm] eine Folge nichtnegativer reller Zahlen, so dass die Folge der Partialsummen [mm] \summe_{k=1}^{n}{b_k} [/mm] beschränkt ist, ferner sei [mm] (a_n) [/mm] eine monoton fallende Nullfolge. Man zeige:
Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}{a_n b_n} [/mm] konvergiert absolut. |
hi, könnt ihr mir bitte bei dieser aufgabe weiterhelfen, hab leider keine idee wie ich da rangehen kann... *grübel*
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Riley!
Verwerten wir mal der Reihe nach die gegebenen Info's ...
> Es sei [mm](b_n)[/mm] eine Folge nichtnegativer reller Zahlen
[mm] $\Rightarrow$ $b_n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0 \ \ [mm] \forall [/mm] \ n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\left| \ b_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] b_n$
[/mm]
> so dass die Folge der Partialsummen [mm]\summe_{k=1}^{n}{b_k}[/mm] beschränkt ist
[mm] $\Rightarrow$ $\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}{b_k} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ A$ [mm] $\Rightarrow$ $\summe_{n=1}^{\infty}{b_n} [/mm] \ [mm] \text{ist konvergent}$
[/mm]
> ferner sei [mm](a_n)[/mm] eine monoton fallende Nullfolge.
[mm] $\Rightarrow$ $a_n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
Sowie:
[mm] $\forall [/mm] \ n \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] N_0 [/mm] \ : \ [mm] \left| \ a_n-0 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ a_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] a_n [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$
[/mm]
Und nun diese Informationen einzeln verwenden für den Nachweis der absoluten Konvergenz:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\left| \ a_n*b_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|*\left|b_n\right| [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Riley |
oh das ist super, vielen vielen dank für deine tipps!!! ;)
... also [mm] \summe_{k=1}^{n} {|a_n| |b_n|} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} {a_n b_n} [/mm] da [mm] |a_n| [/mm] = [mm] a_n [/mm] und [mm] |b_n|=b_n.
[/mm]
hmmm... und da [mm] \summe_{i=1}^{n} {b_n} [/mm] konvergiert und [mm] a_n< \varepsilon [/mm] , konvergiert [mm] \summe_{k=1}^{n} {a_n b_n} [/mm] und damit auch [mm] \summe_{k=1}^{n} {|a_n b_n|} [/mm] ... kann man das so sagen???
gilt das eigentlich immer, dass eine beschränkte Reihe konvergent ist??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Sa 25.03.2006 | | Autor: | felixf |
> oh das ist super, vielen vielen dank für deine tipps!!! ;)
>
>
> ... also [mm]\summe_{k=1}^{n} {|a_n| |b_n|}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} {a_n b_n}[/mm]
> da [mm]|a_n|[/mm] = [mm]a_n[/mm] und [mm]|b_n|=b_n.[/mm]
> hmmm... und da [mm]\summe_{i=1}^{n} {b_n}[/mm] konvergiert und
> [mm]a_n< \varepsilon[/mm] , konvergiert [mm]\summe_{k=1}^{n} {a_n b_n}[/mm]
> und damit auch [mm]\summe_{k=1}^{n} {|a_n b_n|}[/mm] ... kann man
> das so sagen???
Na, so ganz sauber ist das nicht. Machs doch einfach direkt mit dem Majorantenkriterium: fuer alle grossen $n$ gilt [mm] $|a_n b_n| [/mm] < [mm] b_n$, [/mm] und da [mm] $\sum b_n$ [/mm] konvergiert, konvergiert somit auch [mm] $\sum a_n b_n$ [/mm] absolut.
> gilt das eigentlich immer, dass eine beschränkte Reihe
> konvergent ist??
Nein, nimm etwa [mm] $\sum_n (-1)^n$: [/mm] die ist definitiv beschraenkt, jedoch konvergiert sie nicht. Wenn die Summanden jedoch alle das gleiche Vorzeichen haben, dann gilt das (das folgt aus dem entsprechenden Kriterium fuer Folgen: eine monotone beschraenkte Folge konvergiert).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 So 26.03.2006 | | Autor: | Riley |
hi, tausend dank für deine hilfe!! ;) jetzt versteh ich wie man die aufgabe lösen sollte, selbst drauf gekommen wär ich aber nie...
hab mir grad überlegt, wie das ist,
[mm] \summe_{i=1}^{n} {(-1)^n \bruch{1}{n}} [/mm] konvergiert nach Leibniz, aber absolut genommen divergiert die reihe, oder?
gibt es da auch ein beispiel für eine reihe die divergiert aber absolut genommen konvergiert...??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 So 26.03.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Riley,
> hi, tausend dank für deine hilfe!! ;) jetzt versteh ich
> wie man die aufgabe lösen sollte, selbst drauf gekommen wär
> ich aber nie...
> hab mir grad überlegt, wie das ist,
> [mm]\summe_{i=1}^{n} {(-1)^n \bruch{1}{n}}[/mm] konvergiert nach
> Leibniz, aber absolut genommen divergiert die reihe, oder?
> gibt es da auch ein beispiel für eine reihe die divergiert
> aber absolut genommen konvergiert...??
Nein. Aus der absoluten Konvergenz folgt die Konvergenz. Versuch's mal zu beweisen. Denk dabei an die Dreiecksungleichung.
Gruß
Sigrid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 So 26.03.2006 | | Autor: | Riley |
hi sigrid! danke für deine antwort!! ;)
*puh* also die dreiecksungleichung kenn ich schon, aber mit so beweisen mit folgen und reihen und konvergenz hab ich so meine troubles.....
also wenn ich [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] hab, dann gilt doch:
[mm] |a_n+b_n| [/mm] < [mm] |a_n| [/mm] + [mm] |b_n| [/mm] aber weiß ich noch irgendwas über [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n??
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
> hi sigrid! danke für deine antwort!! ;)
> *puh* also die dreiecksungleichung kenn ich schon, aber mit
> so beweisen mit folgen und reihen und konvergenz hab ich so
> meine troubles.....
> also wenn ich [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] hab, dann gilt doch:
> [mm]|a_n+b_n|[/mm] < [mm]|a_n|[/mm] + [mm]|b_n|[/mm] aber weiß ich noch irgendwas
Du meinst [mm] $\le$ [/mm] und nicht $<$!
> über [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n??[/mm]
Worauf Sigrid hinaus will: Schau dir [mm] $|\sum_{n=1}^k a_n| \le \sum_{n=1}^k |a_n|$ [/mm] an; das folgt aus der Dreiecksungleichung. Was hat das jetzt mit der absoluten und normalen Konvergenz der Reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] zu tun?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 So 26.03.2006 | | Autor: | Riley |
ohja, sorry, kleinergleich sollte es besser heißen...
hmm, naja, ich mein wenn
[mm] \summe_{}^{}{|a_n|} [/mm] konvergiert, konvergiert auch | [mm] \summe_{}^{}{a_n}| [/mm] (Majorantenkrit.) aber wie ich jetzt die Betragsstriche wegkrieg um auf [mm] \summe_{}^{}{a_n} [/mm] zu kommen ist mir nicht klar...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
> ohja, sorry, kleinergleich sollte es besser heißen...
> hmm, naja, ich mein wenn
> [mm]\summe_{}^{}{|a_n|}[/mm] konvergiert, konvergiert auch
> [mm]|\summe_{}^{}{a_n}|[/mm] (Majorantenkrit.)
Dazu musst du erstmal definieren was du mit [mm] $|\sum a_n|$ [/mm] meinst; die Schreibweise bezeichnet normalerweise den Betrag des Grenzwertes wenn die Reihe konvergiert.
> aber wie ich jetzt die
> Betragsstriche wegkrieg um auf [mm]\summe_{}^{}{a_n}[/mm] zu kommen
> ist mir nicht klar...
Schau dir doch mal das Cauchysche Konvergenzkriterium fuer die Reihen [mm] $\sum |a_n|$ [/mm] und [mm] $\sum a_n$ [/mm] an und benutze dann die Dreiecksungleichung mit der Summe.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Riley |
danke für deine tipps, felix!
also cauchy sagt doch, dass die unendliche Reihe [mm] \summe_{n=i}^{\infty} {a_n} [/mm] konvergiert genau dann, wenn es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein N=N( [mm] \varepsilon) [/mm] gibt, so dass [mm] |\summe_{n=m}^{t} {a_n}| \le \varepsilon [/mm] für t [mm] \ge [/mm] m > N.
aber irgendwie komm ich nicht weiter... *helpless*
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Riley,
> danke für deine tipps, felix!
> also cauchy sagt doch, dass die unendliche Reihe
> [mm]\summe_{n=i}^{\infty} {a_n}[/mm] konvergiert genau dann, wenn es
> zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein N=N( [mm]\varepsilon)[/mm] gibt, so
> dass [mm]|\summe_{n=m}^{t} {a_n}| \le \varepsilon[/mm] für t [mm]\ge[/mm]
> m > N.
Damit hast du doch alles. Allerdings muss es " < [mm] \varepsilon [/mm] " heißen.
Du weißt, dass die Reihe absolut konvergiert, d.h.
zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt es ein [mm] N=N( \varepsilon)[/mm], so dass
[mm]|\summe_{n=m}^{t} |{a_n}|| < \varepsilon[/mm] für t [mm]\ge m > N [/mm].
Da alle Summanden positv sind, ist ja auch die Summe positiv, d.h.
[mm] |\summe_{n=m}^{t} |{a_n}|| = \summe_{n=m}^{t} |{a_n}| [/mm]
Also:
zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt es ein [mm] N=N(\varepsilon)[/mm], so dass
[mm]|\summe_{n=m}^{t} {a_n}| \le \summe_{n=m}^{t} |{a_n}| = | \summe_{n=m}^{t} |{a_n}|| < \varepsilon[/mm] für t [mm]\ge
m > N [/mm].
Alles klar?
Gruß
Sigrid
> aber irgendwie komm ich nicht weiter... *helpless*
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Riley |
hi sigrid... danke für deine erklärungen... aber ist das jetzt der beweis dass aus der absoluten konvergenz konvergenz folgt?? *verwirrtbin*
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Di 28.03.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Riley,
> hi sigrid... danke für deine erklärungen... aber ist das
> jetzt der beweis dass aus der absoluten konvergenz
> konvergenz folgt?? *verwirrtbin*
Warum meinst du, dass es nicht reicht?
Du musst doch zeigen, dass es
es zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] $ > 0 ein $ N=N( [mm] \varepsilon) [/mm] $ gibt, so dass
$ [mm] |\summe_{n=m}^{t} {a_n}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ für $ t [mm] \ge [/mm] m > N $.
Du weißt, dass
es zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] $ > 0 ein $ N=N( [mm] \varepsilon) [/mm] $ gibt, so dass
$ [mm] |\summe_{n=m}^{t} |{a_n}|| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ für $ t [mm] \ge [/mm] m > N $.
Jetzt wählst du ein beliebiges $ [mm] \varepsilon [/mm] $
Dazu gibt es ein $ [mm] N(\varepsilon) [/mm] $, so dass $ [mm] |\summe_{n=m}^{t} |{a_n}|| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ für $ t [mm] \ge [/mm] m > N $
und genau dieses $ [mm] N(\varepsilon) [/mm] $ nimmst du auch für $ [mm] |\summe_{n=m}^{t} {a_n}| [/mm] $
Nach der Rechnung, die ich angegeben habe, gilt jetzt für alle $ t [mm] \ge [/mm] m > N $:
$ [mm] |\summe_{n=m}^{t} {a_n}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
Also ist alles gezeigt.
Aber schreib mal, wo du ein Problem siehst.
Gruß
Sigrid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Di 28.03.2006 | | Autor: | Riley |
hi sigrid,
vielen lieben dank für deine mühe!!! ich häng irgendwie noch an dem letzten schritt... *grübel*-... warum gilt das mit dem [mm] N(\epsilon) [/mm] auch für die Reihe mit [mm] a_n [/mm] ohne Betrag ??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Di 28.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
Weil
[mm] \left| \summe_{n=m}^{t}|a_{n}|\right| \le \left| \summe_{n=m}^{t}a_{n}\right| \le \varepsilon [/mm] für t, m [mm] \ge N(\varepsilon).
[/mm]
Die erste Abschätzung gilt wegen der Dreiecksungleichung mehrfach angewandt auf die Reihenglieder. Einfach gesagt - wenn man die Betragstriche weglässt, kann höchstens ein Reihenglied mit einem negativen Vorzeichen auftauchen, das dann die ganze Summe kleiner macht. OK?
Gruß,
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Di 28.03.2006 | | Autor: | Riley |
... hab mir grad nochmal alle beiträge von anfang an durchgeschaut... und ich glaub ich habs jetzt endlich gecheckt *juhu* ;))
mal schaun, ob ich das selbst nochmal hinbekomm:
also wir ham zuerst mit cauchy gezeigt, dass diese reihe
[mm] \left| \summe_{n=m}^{t}|a_{n}|\right| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm]
konvergiert.
da wie sigrid gesagt hat, die einzelnen summanden sowieso positiv sind
gilt:
[mm] \left| \summe_{n=m}^{t}|a_{n}|\right| [/mm] = [mm] \summe_{n=m}^{t}|a_{n}|
[/mm]
und wegen der dreiecksungleichung gilt:
[mm] \left| \summe_{n=m}^{t}a_{n}\right| \le \summe_{n=m}^{t}|a_{n}| [/mm]
und damit
[mm] \left| \summe_{n=m}^{t}a_{n}\right| \le\summe_{n=m}^{t}|a_{n}|= \left| \summe_{n=m}^{t}|a_{n}|\right| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
das heißt wir haben gezeigt dass
[mm] \left| \summe_{n=m}^{t}a_{n}\right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
und das bedeutet wieder konvergenz nach cauchy.... richtig??
und insegsamt sagt der beweis, dass eine reihe die absolut konvergiert insbesondere konvergiert... ich glaub jetzt hab ich das in meim kopf... ;))
vieelen vielen herzlichen dank dass ihr so viel geduld hattet!!! ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Riley,
> ... hab mir grad nochmal alle beiträge von anfang an
> durchgeschaut... und ich glaub ich habs jetzt endlich
> gecheckt *juhu* ;))
> mal schaun, ob ich das selbst nochmal hinbekomm:
>
> also wir ham zuerst mit cauchy gezeigt, dass diese reihe
>
> [mm]\left| \summe_{n=m}^{t}|a_{n}|\right|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
>
> konvergiert.
>
> da wie sigrid gesagt hat, die einzelnen summanden sowieso
> positiv sind
> gilt:
>
> [mm]\left| \summe_{n=m}^{t}|a_{n}|\right|[/mm] =
> [mm]\summe_{n=m}^{t}|a_{n}|[/mm]
>
> und wegen der dreiecksungleichung gilt:
>
> [mm]\left| \summe_{n=m}^{t}a_{n}\right| \le \summe_{n=m}^{t}|a_{n}|[/mm]
>
> und damit
>
> [mm]\left| \summe_{n=m}^{t}a_{n}\right| \le\summe_{n=m}^{t}|a_{n}|= \left| \summe_{n=m}^{t}|a_{n}|\right|[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> das heißt wir haben gezeigt dass
>
> [mm]\left| \summe_{n=m}^{t}a_{n}\right|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> und das bedeutet wieder konvergenz nach cauchy....
> richtig??
> und insegsamt sagt der beweis, dass eine reihe die absolut
> konvergiert insbesondere konvergiert... ich glaub jetzt hab
> ich das in meim kopf... ;))
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") genau!
Nur bitte noch die Angaben zu den Variablen dazuschreiben.
Gruß
Sigrid
>
>
> vieelen vielen herzlichen dank dass ihr so viel geduld
> hattet!!! ;)
>
>
>
>
>
>
|
|
|
|
