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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Mi 30.03.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Berechnen sie [mm] $\frac{p}{q}$ [/mm] von [mm] $0,1230\overline{443}$ [/mm] |
Ich hab mir dazu natürlich schon Gedanken gemacht:
[mm] $0,1230\overline{443} [/mm] = 0,1230443+0,0000000443+0,0000000000443+ ...$
oder
[mm] $0,1230\overline{443} [/mm] = [mm] 0,1230443+443\left(\frac{1}{10^{10}}+\frac{1}{10^{13}}+\frac{1}{10^{15}}+ ...\right)$
[/mm]
Dann kann ich daraus ja nun das hier ableiten:
[mm] $S=\sum_{k=7}^{\infty}0,1230443+443\left( \frac{1}{10^{k+3}} \right)$
[/mm]
Wie kann ich daraus aber nun die unendliche Summe konstruieren? Ich finde dafür keine, so wie bei der Aufgabe gestern. Könnt ihr mir helfen?
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Hallo bandchef,
> Berechnen sie [mm]\frac{p}{q}[/mm] von [mm]0,1230\overline{443}[/mm]
>
> Ich hab mir dazu natürlich schon Gedanken gemacht:
>
> [mm]0,1230\overline{443} = 0,1230443+0,0000000443+0,0000000000443+ ...[/mm]
>
> oder
>
> [mm]0,1230\overline{443} = 0,1230443+443\left(\frac{1}{10^{10}}+\frac{1}{10^{13}}+\frac{1}{10^{15}}+ ...\right)[/mm]
>
Das kann man doch noch anders schreiben:;
[mm]0,1230\overline{443} = 0,1230+443\left(\blue{\frac{1}{10^{7}}}+\frac{1}{10^{10}}+\frac{1}{10^{13}}+\frac{1}{10^{15}}+ ...\right)[/mm]
[mm]=\bruch{1230}{10000}+443\left(\blue{\frac{1}{10^{7}}}+\frac{1}{10^{10}}+\frac{1}{10^{13}}+\frac{1}{10^{15}}+ ...\right)[/mm]
>
> Dann kann ich daraus ja nun das hier ableiten:
>
> [mm]S=\sum_{k=7}^{\infty}0,1230443+443\left( \frac{1}{10^{k+3}} \right)[/mm]
Das ist nicht richtig.
Nach dieser Summe ist auch der Summand [mm]\frac{443}{10^{11}}[/mm] Teil dieser Summe.
Laut dem obigen ist es dieser Summand aber nicht.
>
> Wie kann ich daraus aber nun die unendliche Summe
> konstruieren? Ich finde dafür keine, so wie bei der
Nun, für de unendliche Summe, die Summenformel
für eine unendliche geometrische Reihe verwenden.
> Aufgabe gestern. Könnt ihr mir helfen?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mi 30.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich brauch einen Ausdruck der mir die Reihe 7,10,13,15,17,19,... produziert.
Ich hab jetzt schon eingies durchprobiert aber nix gefunden. Hier z.B.:
3*k-2=...
3*3-2=7
3*4-2=10
3*5-2=13
3*6-2=16 -> bäh...
Ich weiß echt nicht wie ich das machen soll
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Hallo bandchef,
> Ich brauch einen Ausdruck der mir die Reihe
> 7,10,13,15,17,19,... produziert.
>
> Ich hab jetzt schon eingies durchprobiert aber nix
> gefunden. Hier z.B.:
>
> 3*k-2=...
>
> 3*3-2=7
> 3*4-2=10
> 3*5-2=13
> 3*6-2=16 -> bäh...
>
> Ich weiß echt nicht wie ich das machen soll
Probier das mal mit 4k+3
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mi 30.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Müsste das nicht auch eigentlich so heißen:
$ [mm] =\bruch{1230}{10000}+443\left(\blue{\frac{1}{10^{7}}}+\frac{1}{10^{10}}+\frac{1}{10^{13}}+\frac{1}{10^{16}}+ ...\right) [/mm] $
Änderung am letzten Exponent...
Könnte man den steigenden Exponenten dann nicht so Ausdrücken:
$k [mm] \cdot [/mm] 4 - (k-1)$
Wenn man nun bei k=2 beginnt, bekommt man genau die Werte die man im Exponenten haben will  Wo ich mir aber grad nicht so sicher bin, ist, wenn man bei k=2 beginnt, wird dann nicht bei jedem Summationsschritt mit +2 aufaddiert? Wenn ja, dann funktionierts natürlich nicht...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mi 30.03.2011 | | Autor: | bandchef |
So, ich hab noch ein bisschen rumgebastelt. Laut meinem Mathematikprogramm kommt man mit dem Ausdruck auf den richtigen Bruch:
[mm] $S=\frac{1230}{10000}+443 \sum_{k=2}^{\infty}\left( \frac{1}{10} \right)^{3k+1} [/mm] = [mm] \frac{1229213}{9990000} [/mm] = [mm] 0,1230\overline{443}$
[/mm]
Wie aber kann ich die Summe jetzt in einen Ausdruck umformen, den man berechnen kann? Der Ausdruck: [mm] $\frac{1}{1-q}-1$ [/mm] tut's an der Stelle nicht...
Könnt ihr mir weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Mi 30.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Für |q<1 ist
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}q^n= \bruch{1}{1-q},$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}q^n= \bruch{1}{1-q}-1$
[/mm]
und
[mm] $\summe_{k=2}^{\infty}q^n= \bruch{1}{1-q}-1-q$
[/mm]
Da hättest Du auch drauf kommen können ....
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mi 30.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Das würde ja dann bedeuten, dass folgendes gilt (was es aber nicht tut...):
[mm] $S=\frac{1230}{10000}+443 \sum_{k=2}^{\infty}\left( \frac{1}{10} \right)^{3k+1} [/mm] = [mm] \frac{1230}{10000}+443 \left(\bruch{1}{1-q}-1-q \right) [/mm] = [mm] \frac{1230}{10000}+443 \left(\bruch{1}{1-\frac{1}{10}}-1-\frac{1}{10} \right) \neq \frac{1229213}{9990000} [/mm] = [mm] 0,1230\overline{443}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mi 30.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Das würde ja dann bedeuten, dass folgendes gilt (was es
> aber nicht tut...):
>
> [mm]S=\frac{1230}{10000}+443 \sum_{k=2}^{\infty}\left( \frac{1}{10} \right)^{3k+1} = \frac{1230}{10000}+443 \left(\bruch{1}{1-q}-1-q \right) = \frac{1230}{10000}+443 \left(\bruch{1}{1-\frac{1}{10}}-1-\frac{1}{10} \right) \neq \frac{1229213}{9990000} = 0,1230\overline{443}[/mm]
Es ist q [mm] \ne \frac{1}{10} [/mm] !!!
Du hattest:
[mm] \sum_{k=2}^{\infty}\left( \frac{1}{10} \right)^{3k+1} [/mm]
Also: [mm] \sum_{k=2}^{\infty}\left( \frac{1}{10} \right)^{3k+1} =\bruch{1}{10}\sum_{k=2}^{\infty}\left( \frac{1}{10} \right)^{3k} =\bruch{1}{10}\sum_{k=2}^{\infty}\left( \frac{1}{1000} \right)^{k} [/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mi 30.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Bin ich jetzt ganz be****** oder wie? Das heißt, es müsste doch so aussehen:
[mm] $...=\frac{1230}{10000}+443\cdot\frac{1}{10}\cdot \left( \frac{1}{1-\frac{1}{1000}}-1\right) [/mm] = ...
Das Ergebnis passt aber trotzdem nicht...
Wenn ich aber so schreibe, kommt das Richtige raus:
[mm] $...=\frac{1230}{10000}+443\cdot\frac{1}{10000}\cdot \left( \frac{1}{1-\frac{1}{1000}}-1\right) [/mm] = ...
Laut meinem Umformungsschritt für Potenzen hinter dem Summenzeichen, kann ich aber nur [mm] $\frac{1}{10}$ [/mm] und nicht [mm] $\frac{1}{10000} [/mm] nach vorne ziehen. Ich weiß echt nicht was da jetzt falsch sein soll!
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Hallo bandchef,
> Bin ich jetzt ganz be****** oder wie? Das heißt, es
> müsste doch so aussehen:
>
> [mm]$...=\frac{1230}{10000}+443\cdot\frac{1}{10}\cdot \left( \frac{1}{1-\frac{1}{1000}}-1\right)[/mm]
> = ...
>
> Das Ergebnis passt aber trotzdem nicht...
>
>
> Wenn ich aber so schreibe, kommt das Richtige raus:
>
> [mm]$...=\frac{1230}{10000}+443\cdot\frac{1}{10000}\cdot \left( \frac{1}{1-\frac{1}{1000}}-1\right)[/mm]
> = ...
>
> Laut meinem Umformungsschritt für Potenzen hinter dem
> Summenzeichen, kann ich aber nur [mm]$\frac{1}{10}$[/mm] und nicht
> [mm]$\frac{1}{10000}[/mm] nach vorne ziehen. Ich weiß echt nicht
> was da jetzt falsch sein soll!
In der Klammer fehlt auch noch eine Zahl,
die abgezogen werden soll:
[mm]...=\frac{1230}{10000}+443\cdot\frac{1}{10000}\cdot \left( \frac{1}{1-\frac{1}{1000}}-1-\red{\bruch{1}{1000}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mi 30.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Zu deiner letzten Antwort:
So stimmt das aber nicht, oder?
$ ...=\frac{1230}{10000}+443\cdot\frac{1}{10000}\cdot \left( \frac{1}{1-\frac{1}{1000}}-1-\red{\bruch{1}{1000}\right) $
So kommt jetzt das Richtige raus:
$ ...=\frac{1230}{10000}+443\cdot\frac{1}{10}\cdot \left( \frac{1}{1-\frac{1}{1000}}-1-\red{\bruch{1}{1000}\right) $
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Hallo bandchef
> Zu deiner letzten Antwort:
>
> So stimmt das aber nicht, oder?
>
> [mm]...=\frac{1230}{10000}+443\cdot\frac{1}{10000}\cdot \left( \frac{1}{1-\frac{1}{1000}}-1-\red{\bruch{1}{1000}\right)[/mm]
>
Da hast Du recht.
Das kommt davon, wenn man alles abschreibt.
>
> So kommt jetzt das Richtige raus:
>
> [mm]...=\frac{1230}{10000}+443\cdot\frac{1}{10}\cdot \left( \frac{1}{1-\frac{1}{1000}}-1-\red{\bruch{1}{1000}\right)[/mm]
Ja.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Mi 30.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Müsste das nicht auch eigentlich so heißen:
>
> [mm]=\bruch{1230}{10000}+443\left(\blue{\frac{1}{10^{7}}}+\frac{1}{10^{10}}+\frac{1}{10^{13}}+\frac{1}{10^{16}}+ ...\right)[/mm]
>
> Änderung am letzten Exponent...
Genau
FRED
>
> Könnte man den steigenden Exponenten dann nicht so
> Ausdrücken:
>
> [mm]k \cdot 4 - (k-1)[/mm]
>
> Wenn man nun bei k=2 beginnt, bekommt man genau die Werte
> die man im Exponenten haben will Wo ich mir aber grad
> nicht so sicher bin, ist, wenn man bei k=2 beginnt, wird
> dann nicht bei jedem Summationsschritt mit +2 aufaddiert?
> Wenn ja, dann funktionierts natürlich nicht...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Mi 30.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Berechnen sie [mm]\frac{p}{q}[/mm] von [mm]0,1230\overline{443}[/mm]
>
> Ich hab mir dazu natürlich schon Gedanken gemacht:
>
> [mm]0,1230\overline{443} = 0,1230443+0,0000000443+0,0000000000443+ ...[/mm]
>
> oder
>
> [mm]0,1230\overline{443} = 0,1230443+443\left(\frac{1}{10^{10}}+\frac{1}{10^{13}}+\frac{1}{10^{15}}+ ...\right)[/mm]
>
>
> Dann kann ich daraus ja nun das hier ableiten:
>
> [mm]S=\sum_{k=7}^{\infty}0,1230443+443\left( \frac{1}{10^{k+3}} \right)[/mm]
>
Das geht viel einfacher.
Sei [mm] z=0,1230\overline{443} [/mm]
Dann gilt [mm] 1000z=123,0\overline{443} [/mm] , das schreiben wir mal als
[mm] 1000z=123,0443\overline{443}.
[/mm]
Jetzt bilden wir die Differenz 1000z-z und erhalten
999z=122,9213 (alle nachfolgenden Stellen subtrahieren sich weg).
Damit gilt also [mm] z=\bruch{122,9213}{999}=\bruch{1229213}{9990000}
[/mm]
Gruß Abakus
> Wie kann ich daraus aber nun die unendliche Summe
> konstruieren? Ich finde dafür keine, so wie bei der
> Aufgabe gestern. Könnt ihr mir helfen?
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