Folgen und Reihen - Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Zeigen Sie für z [mm] \in \IC [/mm] |z|<1
[mm] \summe_{n=0}^{oo}(n+1)z^n=\bruch{1}{(1-z)^2}
[/mm]
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| Aufgabe 2 | Für n [mm] \in \IN [/mm] sei
[mm] a_{n}:=b_{n}:=\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n+1}} [/mm] und [mm] c_{n}:=\summe_{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k}
[/mm]
Untersuchen Sie die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{oo}a_{n}=\summe_{n=0}^{oo}b_{n} [/mm] und das cauchy produkt [mm] \summe_{n=0}^{oo}c_ [/mm] {n} auf Konvergenz
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Hallo
Kann mir bitte jemand ein paar Tipps zu den beiden Aufgaben stellen. Ich komm einfach nicht mehr weiter und hab leider grad auch niemand anderen der mir helfen könnte.
Schonmal vielen Dank im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Blackwater_Park
> Zeigen Sie für z [mm]\in \IC[/mm] |z|<1
> [mm]\summe_{n=0}^{oo}(n+1)z^n=\bruch{1}{(1-z)^2}[/mm]
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> Für n [mm]\in \IN[/mm] sei
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> [mm]a_{n}:=b_{n}:=\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n+1}}[/mm] und
> [mm]c_{n}:=\summe_{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k}[/mm]
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> Untersuchen Sie die Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{oo}a_{n}=\summe_{n=0}^{oo}b_{n}[/mm] und das
> cauchy produkt [mm]\summe_{n=0}^{oo}c_[/mm] {n} auf Konvergenz
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> Hallo
> Kann mir bitte jemand ein paar Tipps zu den beiden
> Aufgaben stellen. Ich komm einfach nicht mehr weiter und
> hab leider grad auch niemand anderen der mir helfen könnte.
> Schonmal vielen Dank im Vorraus
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Naja, bei (a) weißt du, dass für $|z|<1$ die geometrische Reihe
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n$ [/mm] den Wert [mm] $=\frac{1}{1-z}$ [/mm] hat.
Damit ist [mm] $\frac{1}{(1-z)^2}=\left(\frac{1}{1-z}\right)^2=\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n\right)^2=\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n\right)$
[/mm]
Berechne dieses Cauchyprodukt mal ...
Bei (b) berechne zuerst mal das Cauchyprodukt der beiden Reihen, dann sehen wir weiter ...
LG
schachuzipus
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