Folgenaufgabe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:09 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Timowob |
| Aufgabe | Wiesen Sie nach:
Mit [mm] \beta=\summe_{k=o}^{n}y(1/5)^k [/mm] erhält man [mm] 2^\beta=\wurzel[4]{2^{5y}} [/mm] |
Hallo,
hat jemanden eine "Ansatzidee", wie ich diese Aufgabe lösen könnte?
Vielen Dank und viele Grüße
Timo
|
|
| |
|
> Wiesen Sie nach:
>
> Mit [mm]\beta= \summe_{k=o}^{n} y(1/5)^k[/mm] erhält man [mm]2^\beta[/mm] =
> [mm]\wurzel[4]{2 hoch (5y)}[/mm]
> Hallo,
>
> hat jemanden eine "Ansatzidee", wie ich diese Aufgabe lösen
> könnte?
>
> Vielen Dank und viele Grüße
>
> Timo
Hallo.
Ich nehme mal an, bei [mm] $\beta$ [/mm] wird nicht bloß bis $n$ sondern bis [mm] $\infty$ [/mm] sumiert. Zudem kann man das $y$, das in diesem Ausdruck ja konstant ist, ausklammern und erhält dann
[mm] $\beta=y\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^k$.
[/mm]
Hattet ihr für eine Reihe dieser Form eine allgemeine Formel für den Grenzwert? Dann ist es sehr leicht, diesen zu berechnen, ansonsten braucht man ein paar Tricks, aber auch nicht viele 
Mit diesem berechneten [mm] $\beta$ [/mm] ist der Rest der Aufgabe dann leicht...
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:42 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Timowob |
Hallo Christian,
vielen Dank für Deine Antwort.
Mit [mm] \infty [/mm] hast Du Recht. Dank für den Hinweis.
Das ist die geometrische Reihe. M.E. würde gelten:
(1-(1/5)^(k+1))/1-(1/5)
Wie kann ich das so umformen, daß dann [mm] 2^\beta=\wurzel[4]{2^{5y}} [/mm] dort steht?
Viele Grüße
Timo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Loddar |
N'Abend Timo!
Die Summenformel für die unendliche geometrische Reihe lautet aber:
[mm] $s_{\infty} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-q}$
[/mm]
(Du hast die Formel für die endliche Reihe genommen. Hier müsstest Du dann noch die Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] durchführen, die aber zu meiner o.g. Formel führt.)
Siehst Du nun nach dem Einsetzen die Gleichheit?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Timowob |
Hallo Loddar,
vielen Dank.
Also gilt [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(1/5)^k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-1/5)}
[/mm]
Aber wie bekomme ich daraus [mm] 2^\beta=\wurzel[4]{2^{5y}} [/mm] ?
Viele Grüße
Timo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:05 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Timo!
Es gilt ja: [mm] $\beta [/mm] \ = \ [mm] y*\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{5}\right)^k [/mm] \ = \ [mm] y*\bruch{1}{1-\bruch{1}{5}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5y}{4}$
[/mm]
Und durch Anwenden eines Wurzelgesetzes (oder ist das eine Definition?) folgt die Behauptung:
[mm] $a^{\bruch{m}{n}} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ a^m \ \right)^{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{ \ a^m \ }$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:16 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Timowob |
Jetzt habe ich das verstanden! Herzlichen Dank!
|
|
|
|
