Folgenglieder ersetzen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:07 Di 20.08.2013 | | Autor: | Blubie |
| Aufgabe | | Sei [mm] a_{n} [/mm] eine komplexe Folge und [mm] b_{n} [/mm] eine beliebige Folge die aus [mm] a_{n} [/mm] hervorgeht indem man endlich-viele Folgenglieder durch beliebige komplexe Zahlen ersetzt. Dann gilt [mm] a_{n} [/mm] konvergiert genau dann, wenn [mm] b_{n} [/mm] konvergiert. |
Hallo, in vielen Sätzen lässt man endlich viele Ausnahmen zu. Ein Beispiel hierfür wäre der Satz über monotone Konvergenz (monoton, beschränkt => konvergent). Hier sind endlich viele Ausnahmen bei der Monotonie zugelassen. Ein anderes Beispiel wäre das Quotientenkriterium. Hier betrachtet man den limes-superior von [mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}| [/mm] und es darf [mm] a_{k}=0 [/mm] für endlich viele Folgenglieder gelten. Dementsprechend muss man dann natürlich den limes-superior für eine Teilfolge betrachten, nämlich die, ab der die Nullen "überwunden" sind. Diese endlich-vielen Ausnahmen treten in sehr vielen Sätzen über Folgen auf und wenn man den Beweis nun formal aufschreiben will, so entstehen hier oft viele Sonderfälle. Könnte man diese Sonderfälle nicht mit dem obigen Satz erschlagen bzw. stimmt der Satz immer?
Bspw. könnte man die endlich-vielen Nullstellen beim Quotientenlemma erstmal durch Einsen ersetzen und zum Schluss, wenn man die Konvergenz für die abgewandelte Folge bewiesen hat, wieder rücksubstituieren.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:01 Di 20.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Blubbie,
> Sei [mm]a_{n}[/mm] eine komplexe Folge
schreibe besser [mm] ${(a_n)}$ [/mm] oder [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] oder [mm] ${(a_n)}_{n=n_0}^\infty$ [/mm] oder...
Denn eigentlich ist [mm] $a_n$ [/mm] die Auswertung der Folge [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] (in etwas
ungünstiger Weise sprechen manche Autoren auch von der Folge
[mm] $a={(a_n)}_n$ [/mm] mit etwa $a [mm] \colon \IN \to \IC$) [/mm] an der Stelle [mm] $n\,.$
[/mm]
> und [mm]b_{n}[/mm] eine beliebige
> Folge die aus [mm]a_{n}[/mm] hervorgeht indem man endlich-viele
> Folgenglieder durch beliebige komplexe Zahlen ersetzt. Dann
> gilt [mm]a_{n}[/mm] konvergiert genau dann, wenn [mm]b_{n}[/mm] konvergiert.
>
>
> Hallo, in vielen Sätzen lässt man endlich viele Ausnahmen
> zu. Ein Beispiel hierfür wäre der Satz über monotone
> Konvergenz (monoton, beschränkt => konvergent). Hier sind
> endlich viele Ausnahmen bei der Monotonie zugelassen. Ein
> anderes Beispiel wäre das Quotientenkriterium. Hier
> betrachtet man den limes-superior von
> [mm]|\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|[/mm] und es darf [mm]a_{k}=0[/mm] für endlich
> viele Folgenglieder gelten. Dementsprechend muss man dann
> natürlich den limes-superior für eine Teilfolge
> betrachten,
Na, besser spricht man hier von einem "Endstück" der Folge. Der
Unterschied ist, dass bei einem "Endstück" für genügend große [mm] $n\,$ [/mm] keines
der ursprünglichen Folgeglieder des "Endstücks" verloren gehen kann.
Z.B. wäre die Teilfolge [mm] ${(a_{2k})}_k$ [/mm] mit Sicherheit kein Endstück der Folge [mm] ${(a_n)}_n$...
[/mm]
(Wenn es von Nöten ist, so können wir auch mal eine präzise Definition
des Begriffes "Endstück einer Folge" einführen!)
> nämlich die,
Davon gibt's nicht nur eine - deswegen solltest Du besser das Wort "die"
durch das Wort "ein(e)" ersetzen!
> ab der die Nullen "überwunden"
> sind. Diese endlich-vielen Ausnahmen treten in sehr vielen
> Sätzen über Folgen auf und wenn man den Beweis nun formal
> aufschreiben will, so entstehen hier oft viele
> Sonderfälle. Könnte man diese Sonderfälle nicht mit dem
> obigen Satz erschlagen bzw. stimmt der Satz immer?
Natürlich stimmt der Satz immer. (Wenn Du eine Aussage $A [mm] \iff [/mm] B$ bewiesen
hast, dann wird die eh immer gelten - wie hättest Du sie sonst beweisen
können??)
Der Beweis dieser Aussage ist einfach:
Wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert, so wählen wir bei [mm] $(b_n)$ [/mm] zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ halt ein [mm] $N\,,$
[/mm]
so dass [mm] $a_n=b_n$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt UND zudem so, dass [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für
alle $n [mm] \ge N\,.$ [/mm] Dann folgt für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ auch [mm] $|...-a|=|b_n-a| [/mm] < ...$?
Umgekehrt geht das analog; wenn Du es genauer haben willst:
Sei [mm] $N_0$ [/mm] so, dass [mm] $a_n=b_n$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_0\,.$
[/mm]
1. Gelte [mm] $a_n \to a\,.$ [/mm] Zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert dann ein [mm] $N'_\epsilon$ [/mm] mit [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N'_\epsilon.$ [/mm] Setze [mm] $N_\epsilon:=\max\{N'_\epsilon,N_0\}.$
[/mm]
Dann gilt für alle $n [mm] \ge N_\epsilon:$
[/mm]
$...$?
2. Gelte [mm] $b_n \to b\,.$ [/mm] Zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert dann ein [mm] $N''_\epsilon$ [/mm] mit [mm] $|b_n-b| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N''_\epsilon.$ [/mm] Setze [mm] $N_\epsilon:=\max\{N''_\epsilon,N_0\}.$
[/mm]
Dann gilt für alle $n [mm] \ge N_\epsilon:$
[/mm]
$...$?
> Bspw. könnte man die endlich-vielen Nullstellen beim
> Quotientenlemma erstmal durch Einsen ersetzen und zum
> Schluss, wenn man die Konvergenz für die abgewandelte
> Folge bewiesen hat, wieder rücksubstituieren.
Endlich viele Nullstellen beim QK kannst Du einfach "wegschneiden" - ersetzen
oder was auch immer. Bei einer Folge gilt:
Das Abändern einer Folge an endlich vielen Stellen ändert weder deren
Konvergenzverhalten - noch, im Falle der Konvergenz, den Grenzwert. (Du
könntest die Folge sogar "zusammenziehen" (das meine ich mit "Wegschneiden
von Folgegliedern") oder auseinanderdrücken (also endlich viele neue
Folgeglieder reinschmuggeln)).
(Das ist im Wesentlichen ja gerade der Inhalt der obigen Aussage, die Du
geliefert hast!)
Was anderes ist es übrigens bei Reihen: Das Konvergenzverhalten einer
Reihe wird nicht von endlich vielen Summanden beeinflusst. ABER: Im Falle
der Konvergenz einer Reihe ändert sich i.a. der Grenzwert, wenn man die
Reihe an endlich vielen Summanden abändert.
Der Grund ist übrigens eigentlich klar: Das "Abändern einer Reihe an endlich
vielen Summanden" 'verschiebt' die Folge der zugehörigen Partialsummen
entsprechend.
(Vergleichen könntest Du das so: Wenn ich bei einer Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] an den [mm] $N\,$
[/mm]
Stellen [mm] $n_1,...,n_N$ [/mm] die Zahlen [mm] $x_{n_1},...,x_{n_N}$ [/mm] hinzuaddiere, so ändert
sich nicht das Konvergenzverhalten der Folge, aber wenn sie konvergiert,
so ändert sich der Grenzwert der Folge um die Summe [mm] $\sum_{k=1}^N x_{n_k}.$)
[/mm]
Und eigentlich ist es eher so:
Man formuliert den Hauptsatz für monotone Folgen bspw. wirklich für
monoton wachsende und beschränkte Folgen. Mit obigen Satz folgert man
dann etwa, dass man den Hauptsatz auch "auf gewisse andere Folgen"
anwenden kann - z. B. auf jene, die ein Endstück haben, dass monoton
wachsend und nach oben beschränkt ist. (Das kann man dann als Korollar
formulieren, wenn man will - ebenso kann man ja auch direkt als Korollar
formulieren, dass eine nach unten beschränkte fallende Folge [mm] ${(y_n)}_n$ [/mm]
konvergent ist, mit dem Hinweis, dass ja [mm] ${(-y_n)}_n$ [/mm] dann monoton wachsend
und nach oben beschränkt ist.)
Und wenn Du etwa [mm] $a_n:=(-1)^n$ [/mm] für $n=1,...1000$ hast und dann [mm] $a_{n}:=(1+1/n)^n$ [/mm] für
natürliches $n [mm] \ge [/mm] 1001,$ dann sagst Du einfach, dass wegen des obigen Satzes
Du durch Abändern der ersten 1000 Folgeglieder (etwa alle =0 setzen) o.E.
[mm] $(a_n)_n$ [/mm] als monoton wachsend annehmen kannst...
Die abgeänderte Folge ist dann monoton wachsend und nach oben
beschränkt (natürlich, und das ist gar nicht so trivial, musst Du sowas wie
[mm] $(1+1/n)^n \le (1+1/(n+1))^{n+1}$ [/mm] für alle genügend große [mm] $n\,,$ [/mm] hier etwa $n [mm] \ge [/mm] 1001,$ beweisen!)
Erst vor kurzem habe ich
hier (klick!)
was ähnliches geschrieben...
Von daher kenne ich es eher so: Im Hauptsatz für monotone Folgen steht
nichts von endlich vielen Ausnahmen drin. Dass der aber o.B.d.A. auch auf
Folgen angewendet werden kann, die erst für genügend große [mm] $n\,$ [/mm] etwa
monoton wachsend und beschränkt sind, dass kann man sich selbst
überlegen und eine entsprechende Überlegung bei einer zugehörigen
Aufgabe sollte man dann (kurz) auch dazuschreiben...
Das ist halt so'n bisschen Geschmackssache, wie man es machen will:
"Einfache Sonderfälle" bei den Formulierungen mitbetrachten, oder, man
geht davon aus, dass jemand beim Bearbeiten solche Schlüsse selbst
machen kann, weil sie naheliegend sind...
Oder halt erstmal die Sätze so formulieren und dann die "Sonderfälle" in
Korollaren erschlagen oder oder oder...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:30 Di 20.08.2013 | | Autor: | Blubie |
Ich danke dir für deine sehr ausführliche Antwort. Das hat mir wirklich geholfen. Es ist schön nochmal zu lesen, was man selbst bereits gedacht hat. Danke!!!
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