Folgenkonvergenz, n angeben < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Sei [mm] an:=n^k*a^n.
[/mm]
Geben Sie für k=69 und [mm] a=\bruch{1}{3} [/mm] ein [mm] N\in\IN [/mm] an, sodass [mm] |an|<10^{-6} [/mm] |
Also es ist ein [mm] N\in\IN [/mm] gesucht, sodass:
[mm] |n^{69}*\bruch{1}{3}^n|<10^{-6}
[/mm]
<=> [mm] n^{69}*\bruch{1}{3}^n<10^{-6}
[/mm]
[mm] \le n^{69}*\bruch{1}{3}<10^{-6}
[/mm]
<=> [mm] n^{69}<\bruch{3}{10^6}
[/mm]
<=> n < [mm] 69\wurzel{\bruch{3}{10^6}}
[/mm]
Also würde die Ungleichung für dieses n gelten.
Das sieht mir aber doch etwas willkürlich aus.
Darf ich hier überhaupt abschätzen ?
mfg. lé Frog :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Frosch,
> Sei [mm]a_n:=n^k*a^n.[/mm]
>
> Geben Sie für k=69 und [mm]a=\bruch{1}{3}[/mm] ein [mm]N\in\IN[/mm] an,
> sodass [mm]|a_n|<10^{-6}[/mm]
> Also es ist ein [mm]N\in\IN[/mm] gesucht, sodass:
>
> [mm]|n^{69}*\bruch{1}{3}^n|<10^{-6}[/mm]
>
> <=> [mm]n^{69}*\bruch{1}{3}^n<10^{-6}[/mm]
>
> [mm]\le n^{69}*\bruch{1}{3}<10^{-6}[/mm]
>
> <=> [mm]n^{69}<\bruch{3}{10^6}[/mm]
>
> <=> n < [mm]69\wurzel{\bruch{3}{10^6}}[/mm]
>
> Also würde die Ungleichung für dieses n gelten.
>
> Das sieht mir aber doch etwas willkürlich aus.
> Darf ich hier überhaupt abschätzen ?
so geht das nicht. Das hieße ja [mm]n<0,83...[/mm] und so eine natürliche Zahl gibt es nicht.
Einen "hübschen" Lösungsweg habe ich zwar auch nicht, aber einen Vorschlag.
Es gilt ja ein [mm]n\in\mathbb N[/mm] zu finden, so dass [mm]\frac{n^{69}}{3^n}<10^{-6}[/mm] bzw. [mm]10^6\cdot n^{69}<3^n[/mm].
Zunächst: So ein n gibt es, da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion.
Ich würde aus der Ungleichung erstmal eine Gleichung machen, vielleicht ein bisschen umformen und dann z.B. das Newton-Verfahren anwenden.
Es ist
[mm]10^6* n^{69}=3^n=e^{n*\ln(n)}[/mm] [mm]\Leftrightarrow\ 6*\ln(10)+69*\ln(n)=n*\ln(3)[/mm]
Jetzt wende das Newton-Verfahren auf [mm]f(n):=n*\ln(3)-69*\ln(n)-6*\ln(10)[/mm] an, um die Nullstelle zu finden.
Das habe ich zwar nicht durchgerechnet, aber durch Probieren habe ich als kleinstes n 387 gefunden.
Vielleicht hat ja noch jemand anderes eine "elegantere" Lösung...
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Frosch20 |
> so geht das nicht. Das hieße ja [mm]n<0,83...[/mm] und so eine
> natürliche Zahl gibt es nicht.
Genau das habe ich mir gedacht. Vielleicht war die Abschätzung etwas zu grob, wenn abschätzen überhaupt erkaubt ist.
>
> Einen "hübschen" Lösungsweg habe ich zwar auch nicht,
> aber einen Vorschlag.
> Es gilt ja ein [mm]n\in\mathbb N[/mm] zu finden, so dass
> [mm]\frac{n^{69}}{3^n}<10^{-6}[/mm] bzw. [mm]10^6\cdot n^{69}<3^n[/mm].
>
> Zunächst: So ein n gibt es, da die Exponentialfunktion
> schneller wächst als jede Potenzfunktion.
>
> Ich würde aus der Ungleichung erstmal eine Gleichung
> machen, vielleicht ein bisschen umformen und dann z.B. das
> Newton-Verfahren anwenden.
>
> Es ist
> [mm]10^6* n^{69}=3^n=e^{n*\ln(n)}[/mm] [mm]\Leftrightarrow\ 6*\ln(10)+69*\ln(n)=n*\ln(3)[/mm]
>
> Jetzt wende das Newton-Verfahren auf
> [mm]f(n):=n*\ln(3)-69*\ln(n)-6*\ln(10)[/mm] an, um die Nullstelle zu
> finden.
> Das habe ich zwar nicht durchgerechnet, aber durch
> Probieren habe ich als kleinstes n 387 gefunden.
>
> Vielleicht hat ja noch jemand anderes eine "elegantere"
> Lösung...
>
>
> Lieben Gruß,
> Fulla
>
>
Vielen dank, allerdings kenne ich das Newton-Verfahren garnicht. Ich bin mir auch unsicher ob wir diesen Weg überhaupt verwenden dürfen. Immerhin haben wir in der Vorlesung noch keine e-funktionen oder sonstiges definiert. Wir sind also grademal bei Folgen.
Aber einen anderen Weg, als über die e-funktion oder sonstiges würde mir auch nicht einfallen.
LG. Frosch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:40 So 25.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Sei [mm]an:=n^k*a^n.[/mm]
>
> Geben Sie für k=69 und [mm]a=\bruch{1}{3}[/mm] ein [mm]N\in\IN[/mm] an,
> sodass [mm]|an|<10^{-6}[/mm]
> Also es ist ein [mm]N\in\IN[/mm] gesucht, sodass:
>
> [mm]|n^{69}*\bruch{1}{3}^n|<10^{-6}[/mm]
>
> <=> [mm]n^{69}*\bruch{1}{3}^n<10^{-6}[/mm]
>
> [mm]\le n^{69}*\bruch{1}{3}<10^{-6}[/mm]
Hier hast Du Blödsinn gemacht.
Bestimme durch Probieren mit dem Taschenrechner ein $n$, so daß
[mm] $n^{63}< 10^{-6}*3^n\,.$
[/mm]
Grüße
Wolfgang
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