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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:13 So 25.01.2009 | | Autor: | lill |
| Aufgabe | Richard, Sepp und Toni kommen am Fastnachtsmontag aus der Kneipe.
Bitte formalisieren Sie (ohne Verwendung von Quantoren, also nur aussagenlogisch):
a) Mindestens zwei von ihnen sind blau.
b) Höchstens zwei von Ihnen sind blau.
c) Genau zwei von ihnen sind blau.
d) Zeigen Sie mit der Resolutionsmethode, dass gilt:
Wenn mindestens zwei blau sind und höchstens zwei blau sind, dann sind genau zwei blau. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
s: Sepp ist blau.
r: Richard ist blau.
t: Roni ist blau.
a)
[mm] \begin{tabular}{c|c|c||c}
r & s & t &
\\ \hline
0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 1 & 0
\\ 0 & 1 & 0 & 0
\\ 0 & 1 & 1 & 1
\\ 1 & 0 & 0 & 0
\\ 1 & 0 & 1 & 1
\\ 1 & 1 & 0 & 1
\\ 1 & 1 & 1 & 1
\end{tabular}
[/mm]
Also:
[mm] $(\neg [/mm] r [mm] \wedge [/mm] s [mm] \wedge t)\vee(r \wedge \neg [/mm] s [mm] \wedge t)\vee(r \wedge [/mm] s [mm] \wedge \neg t)\vee(r\wedge s\wedge [/mm] t)$
[mm] $\Leftrightarrow (s\wedge t)\vee(r\wedge s)\vee(t\wedge [/mm] r)$
b)
[mm] \begin{tabular}{c|c|c||c}
r & s & t &
\\ \hline
0 & 0 & 0 & 1
\\ 0 & 0 & 1 & 1
\\ 0 & 1 & 0 & 1
\\ 0 & 1 & 1 & 1
\\ 1 & 0 & 0 & 1
\\ 1 & 0 & 1 & 1
\\ 1 & 1 & 0 & 1
\\ 1 & 1 & 1 & 0
\end{tabular}
[/mm]
Also:
[mm] $\neg r\vee\neg s\vee\neg [/mm] t$
c)
[mm] \begin{tabular}{c|c|c||c}
r & s & t &
\\ \hline
0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 1 & 0
\\ 0 & 1 & 0 & 0
\\ 0 & 1 & 1 & 1
\\ 1 & 0 & 0 & 0
\\ 1 & 0 & 1 & 1
\\ 1 & 1 & 0 & 1
\\ 1 & 1 & 1 & 0
\end{tabular}
[/mm]
Also:
[mm] $(\neg r\wedge s\wedge t)\vee(r\wedge\neg s\wedge t)\vee(r\wedge s\wedge\neg [/mm] t)$
d)
[mm] $a)\wedge [/mm] b) [mm] \leftrightarrow c)$
$\Leftrightarrow (((s\wedge t)\vee(r\wedge s)\vee(t\wedge r))\wedge(\neg r\vee\neg s\vee\neg t))\lrftrightarrow((\neg r\wedge s\wedge t)\vee(r\wedge\neg s\wedge t)\vee(r\wedge s\wedge\neg t))$
Wenn $(((s\wedge t)\vee(r\wedge s)\vee(t\wedge r))\wedge(\neg r\vee\neg s\vee\neg t))\lrftrightarrow((\neg r\wedge s\wedge t)\vee(r\wedge\neg s\wedge t)\vee(r\wedge s\wedge\neg t))$ Tautologie, dann $\neg((((s\wedge t)\vee(r\wedge s)\vee(t\wedge r))\wedge(\neg r\vee\neg s\vee\neg t))\lrftrightarrow((\neg r\wedge s\wedge t)\vee(r\wedge\neg s\wedge t)\vee(r\wedge s\wedge\neg t))$ Kontradiktion.
Wenn bei der Kontradiktion in der Resolutionsmethode eine leere Klammer rauskommt, dann ist $(((s\wedge t)\vee(r\wedge s)\vee(t\wedge r))\wedge(\neg r\vee\neg s\vee\neg t))\lrftrightarrow((\neg r\wedge s\wedge t)\vee(r\wedge\neg s\wedge t)\vee(r\wedge s\wedge\neg t))$ Tautologie.
[hr]
Ist das so korrekt?
Gruß lill
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 29.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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