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Forum "Kombinatorik" - Formel Spezialfall Permutation
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Formel Spezialfall Permutation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:14 Fr 22.07.2016
Autor: DerAndy

Aufgabe
Problem: Formel für die Bestimmung der Anzahl von Permutationen in der wiederkehrende Muster ausgeschlossen werden, Wiederholungen und Anordnung aber relevant sind.

Standardformel: [mm] n^k [/mm] ergibt bei 3 Objekten = 27 Permutationen und zwar
{a,a,a} {a,a,b} {a,a,c} {a,b,a} {a,b,b} {a,b,c} {a,c,a} {a,c,b} {a,c,c} {b,a,a} {b,a,b} {b,a,c} {b,b,a} {b,b,b} {b,b,c} {b,c,a} {b,c,b} {b,c,c} {c,a,a} {c,a,b} {c,a,c} {c,b,a} {c,b,b} {c,b,c} {c,c,a} {c,c,b} {c,c,c}

Relevant sind aber nur die 6, wo keine Muster wiederkehren: {a,a,a} {a,a,b} {a,b,a} {a,b,b} {a,b,c} {b,a,b}

Wie kann eine allgemeingültige Formel aussehen? Für den Fall von 4 Objekten komme ich durch Auschlussverfahren zu 15 Anordnungen. Bei 2 Objekten zu 2 Anordnungen. Für 5 Objekte ist das Verfahren durch Ausschluss schon nicht mehr bewältigbar. Leider erkenne ich bisher kein Muster. Wer kann helfen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Formel Spezialfall Permutation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:24 Sa 23.07.2016
Autor: chrisno

Die erste Frage: bezieht sich das Problem nur auf den Fall, dass es es n unterschiedliche Objekte für n Plätze gibt? Oder soll auch für die Objekte a, b, c {a, a, b, c} betrachtet werden?

Die zweite Frage: was ist der Unterschied im Muster zwischen {a,b,a} und {b,a,b}?

Bezug
        
Bezug
Formel Spezialfall Permutation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Sa 23.07.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Problem: Formel für die Bestimmung der Anzahl von
> Permutationen in der wiederkehrende Muster ausgeschlossen
> werden, Wiederholungen und Anordnung aber relevant sind.
>
> Standardformel: [mm]n^k[/mm] ergibt bei 3 Objekten = 27
> Permutationen und zwar
>  {a,a,a} {a,a,b} {a,a,c} {a,b,a} {a,b,b} {a,b,c} {a,c,a}
> {a,c,b} {a,c,c} {b,a,a} {b,a,b} {b,a,c} {b,b,a} {b,b,b}
> {b,b,c} {b,c,a} {b,c,b} {b,c,c} {c,a,a} {c,a,b} {c,a,c}
> {c,b,a} {c,b,b} {c,b,c} {c,c,a} {c,c,b} {c,c,c}
>  
> Relevant sind aber nur die 6, wo keine Muster wiederkehren:
> {a,a,a} {a,a,b} {a,b,a} {a,b,b} {a,b,c} {b,a,b}
>  Wie kann eine allgemeingültige Formel aussehen? Für den
> Fall von 4 Objekten komme ich durch Auschlussverfahren zu
> 15 Anordnungen. Bei 2 Objekten zu 2 Anordnungen. Für 5
> Objekte ist das Verfahren durch Ausschluss schon nicht mehr
> bewältigbar. Leider erkenne ich bisher kein Muster. Wer
> kann helfen?


Guten Abend !

Zusätzlich zu den Rückfragen von chrisno möchte ich
noch fragen, was genau du hier unter "Permutationen"
verstehen willst. Offenbar ja nicht jene Anordnungen,
die man üblicherweise in der Kombinatorik als
Permutationen bezeichnet.
(Zu einer Menge von n Elementen gibt es n! mögliche
geordnete Mengen, welchen die n! Permutationen im
üblichen Sinne entsprechen).
Du scheinst hier aber wohl jene [mm] n^n [/mm]  Anordnungen zu
meinen, die man in der Schulkombinatorik als die
"Variationen der Länge n aus n verfügbaren Elementen
zu meinen, wobei auch beliebige Wiederholungen eine
Rolle spielen und selbstverständlich auch die genaue
Reihenfolge der gewählten Elemente wesentlich ist.

Auch was du genau mit "Mustern" und mit "wiederholten
Mustern" meinst, ist mir nicht wirklich klar. Du solltest
definieren, was darunter zu verstehen sein soll.

LG ,    Al-Chwarizmi  

Bezug
        
Bezug
Formel Spezialfall Permutation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:45 Sa 23.07.2016
Autor: ErikErik

Hallo,
wie meinen Vorrednern ist mir die Frage auch nicht ganz klar. Aber eventuell hilft das Urnenmodell mit mehrmaligem Ziehen und ohne Zurücklegen?
https://de.wikipedia.org/wiki/Urnenmodell
Viele Grüße, Erik


Bezug
                
Bezug
Formel Spezialfall Permutation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:27 So 24.07.2016
Autor: DerAndy

Vielen Dank für die Rückmeldungen,
ich habe mich tatsächlich nicht klar ausgedrückt. Hier ein wenig Kontext:
Ich habe drei verschiedene Klassifikationsalgorithmen die mir jeweils ein Ergebnis in Form eines Buchstabens wiedergeben.
Beispiel:
Algorithmus 1: a
Algorithmus 2: b
Algorithmus 3: b


Dieses Muster ist identisch mit dem Muster:

Algorithmus 1: b
Algorithmus 2: a
Algorithmus 3: a

Algorithmus 1: c
Algorithmus 2: a
Algorithmus 3: a

Algorithmus 1: d
Algorithmus 2: a
Algorithmus 3: a

usw.

Da zwei und drei jeweils zum gleichen ergebnis kommen, der erste Algorithmus jedoch zu einem anderen.

Muster 1 wäre also unabhängig vom Buchstaben: zwei und drei gleich, erster verschieden

Ein weiteres Muster wäre: alle unterschiedlich

weiteres Muster: 1 und drei gleich, 2 verschieden

Bei drei Algorithmen ergeben sich so 5 verschiedene Muster, bei 4 Algorithmen 15 und bei 5+ wird es schon schwierig die Muster einfach aufzuschreiben und so zur Lösung zukommen

Ich benötige also eine Formel die mir die Anzahl der Muster bei Verwendung von n Algorithmen wiedergibt.

Die bisherige Kombinatorik und Permutationsformeln helfen mir hier leider nicht
mehr weiter.

Ich danke euch für eure Hilfe.Gruß Andy



Bezug
        
Bezug
Formel Spezialfall Permutation: Folge bei OEIS
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 Fr 19.08.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Problem: Formel für die Bestimmung der Anzahl von
> Permutationen in der wiederkehrende Muster ausgeschlossen
> werden, Wiederholungen und Anordnung aber relevant sind.

> Relevant sind aber nur die 6, wo keine Muster wiederkehren:
> {a,a,a} {a,a,b} {a,b,a} {a,b,b} {a,b,c} {b,a,b}
>  Wie kann eine allgemeingültige Formel aussehen? Für den
> Fall von 4 Objekten komme ich durch Auschlussverfahren zu
> 15 Anordnungen. Bei 2 Objekten zu 2 Anordnungen. Für 5
> Objekte ist das Verfahren durch Ausschluss schon nicht mehr
> bewältigbar. Leider erkenne ich bisher kein Muster. Wer
> kann helfen?


Hallo

ich habe, so glaube ich wenigstens, immerhin herausge-
funden, um welche bekannte Zahlenfolge es sich hier
handeln könnte:

[]List of Integer Sequences

Zu deiner Interpretation als "Muster" passt vielleicht am
besten die Anzahl der möglichen unterschiedlichen
Reim-Schemata für ein Gedicht aus n Zeilen:

Number of distinct rhyme schemes for a poem of n lines: a rhyme scheme is a string of letters (e.g., 'abba') such that the leftmost letter is always 'a' and no letter may be greater than one more than the greatest letter to its left. Thus 'aac' is not valid since 'c' is more than one greater than 'a'. For example, a(3)=5 because there are 5 rhyme schemes: aaa, aab, aba, abb, abc; also see example by Neven Juric. - Bill Blewett, Mar 23 2004

Eine ganz einfache Formel zur Berechnung dieser Zahlen
scheint es aber nicht zu geben.


LG ,   Al-Chwarizmi



Bezug
        
Bezug
Formel Spezialfall Permutation: Erzeugungsprogramm
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 So 21.08.2016
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo an alle Interessierten

gemäß meinem Hobby, zu interessanten Themen kleine
Programme zu entwerfen, habe ich mir vorgenommen,
ein rekursives Pascal-Programm zu schreiben, welches zu
einer vorzugebenden Länge n alle möglichen Reimschemata
eines Gedichts mit n Zeilen erzeugt, in alphabetischer
Reihenfolge ausdruckt und dazu die Anzahl der Möglichkeiten
angibt.

Hier eine Zusammenfassung:

  [Dateianhang nicht öffentlich]

Als Beispiel wird die Liste zur Länge n=5 angegeben.
Die Anzahl der möglichen Reimschemata ist dabei gleich  52 .

LG  

Al-Chwarizmi



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
        
Bezug
Formel Spezialfall Permutation: Bellzahl, Partitionen, Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Mo 22.08.2016
Autor: Al-Chwarizmi

Noch eine Bemerkung:

Die Anzahlen  1, 2, 5, 15, 52, .....  , welche sich in diesem
Problem gezeigt haben, sind die sogenannten []Bellschen Zahlen.
Die Bellsche Zahl  [mm] B_n [/mm]  gibt an, auf wie viele Arten eine Menge
von n Elementen partitioniert werden kann.

Es wäre nun bestimmt noch interessant, den Zusammenhang
zwischen den beiden Modellen genau aufzuzeigen:

1.)  [mm] B_n [/mm] = Anzahl der Partitionen einer n-elementigen Menge

2.)  [mm] B_n [/mm] = Anzahl der Reimschemata eines n-zeiligen Gedichts



Zur Berechnung der Werte der [mm] B_n [/mm]  gibt es übrigens doch ein
recht einfaches (rekursives) Rezept:

    $\ [mm] B_0\ [/mm] =\ [mm] 1\quad ;\quad B_{n+1}\ [/mm] =\ [mm] \summe_{k=0}^{n}\pmat{n\\k}\,B_k$ [/mm]

LG  ,   Al-Chwarizmi

  


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