Formel finden per Matrix < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei
s(n) = 1 * 2 * 4 + 2 * 3 * 5 + 3 * 4 * 6 + ... + n * (n + 1) * (n + 3)
Finde eine Formel für s(n) mit dem Ansatz
s(n) = [mm] an^{4} [/mm] + [mm] bn^{3} [/mm] + [mm] cn^{2} [/mm] + dn
und faktorisiere den entsprechenden Term. |
Ich habe ehrlich gesagt wenig Ahnung.
Zuallererst habe ich die Werte für
n=1 ; n=2 ; n=3 ; n=4 ausgerechnet:
s(1)=8
s(2)=38
s(3)=110
s(4)=250
Damit denke ich müsste man 4 Formeln erstellen können und diese dann in eine Matrix schreiben und per Taschenrechner die Werte für a,b,c und d rausgeben lassen und so dann die Endformel hinschreiben können.
Nur wie genau man das macht, weiß ich nicht.
Vielen Dank für eure Hilfe! Ich schreibe morgen eine Klausur und das könnte drankommen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo MatheLK12,
> Finde eine Formel für s(n) mit dem Ansatz
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> s(n) = [mm]an^{4}[/mm] + [mm]bn^{3}[/mm] + [mm]cn^{2}[/mm] + dn
>
> und faktorisiere den entsprechenden Term.
> Ich habe ehrlich gesagt wenig Ahnung.
> Zuallererst habe ich die Werte für
> n=1 ; n=2 ; n=3 ; n=4 ausgerechnet:
> s(1)=8
> s(2)=38
> s(3)=110
> s(4)=250
>
> Damit denke ich müsste man 4 Formeln erstellen können und
> diese dann in eine Matrix schreiben und per Taschenrechner
> die Werte für a,b,c und d rausgeben lassen und so dann die
> Endformel hinschreiben können.
> Nur wie genau man das macht, weiß ich nicht.
Die Vorgehensweise hast du ja im Prinzip schon beschrieben. Du selbst hast doch z.B. s(1) = 8 berechnet, wobei ich es jetzt nicht nachgeprüft habe. Dann setze: [mm]s(1) = 8 \stackrel{!}{=} a\cdot{}1^4 + b\cdot{}1^3 + c\cdot{}1^2 + d\cdot{}1[/mm] und fahre so mit den übrigen drei Gleichungen fort.
Viele Grüße
Karl
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Danke! Ich habe dadurch nun:
s(n) = [mm] \bruch{1}{4}n^{4} [/mm] + [mm] \bruch{11}{6}n^{3} [/mm] + [mm] \bruch{15}{4}n^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
Ist das dann die Antwort?
Weil in der Aufgabe steht ja "und faktorisiere den entsprechenden Term." Was bedeutet das?
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Hallo MatheLK12,
> Danke! Ich habe dadurch nun:
>
> s(n) = [mm]\bruch{1}{4}n^{4}[/mm] + [mm]\bruch{11}{6}n^{3}[/mm] + [mm]\bruch{15}{4}n^{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{6}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das stimmt fast, du hast dich beim letzten Summanden [mm] \frac{1}{6} [/mm] verrechnet. Zum einen fehlt da ein [mm] \blue{\cdot{}n}, [/mm] zum anderen erhalte ich für den Koeffizienten nicht [mm] \frac{1}{6}, [/mm] sondern [mm] \frac{13}{6}
[/mm]
Kontrolliere da nochmal deine Rechnung
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> Ist das dann die Antwort?
> Weil in der Aufgabe steht ja "und faktorisiere den
> entsprechenden Term." Was bedeutet das?
Schreibe deine errechnete - bzw die verbesserte  - Formel als Produkt von Linearfaktoren. Bestimme dazu die Nullstellen [mm] $n_1,...,n_4$
[/mm]
Dann kannst du das schreiben als [mm] $\text{Faktor}\cdot{}(n-n_1)\cdot{}(n-n_2)\cdot{}(n-n_3)\cdot{}(n-n_4)$
[/mm]
Bsp.: [mm] $3x^3-3x^2-6x=3(x-2)(x+1)x$
[/mm]
LG
schachuzipus
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