Für eine Aufgabe muss ich (glaube ich jedenfalls ) die Ableitung von [mm] \produkt_{i=0}^n(x-x_i) [/mm] berechnen. Gibt es da eine allgemeine Formel für oder muss ich die mir selber herleiten? Hab's schon versucht und mal für n=1 und n=2 ausgerechnet:
Aber irgendwie will das bei mir nie in eine Formel gehen... Kann mir jemand dabei helfen? Oder sagen, wo's steht, falls man das irgendwo schon findet...
> Für eine Aufgabe muss ich (glaube ich jedenfalls ) die
> Ableitung von [mm]\produkt_{i=0}^n(x-x_i)[/mm] berechnen. Gibt es da
> eine allgemeine Formel für oder muss ich die mir selber
> herleiten?
Beides, würde ich sagen
Die Formel ist doch ganz einfach und läßt sich sogar noch verallgemeinern (Beweis mit vollständiger Induktion):
> > Für eine Aufgabe muss ich (glaube ich jedenfalls ) die
> > Ableitung von [mm]\produkt_{i=0}^n(x-x_i)[/mm] berechnen. Gibt es da
> > eine allgemeine Formel für oder muss ich die mir selber
> > herleiten?
>
> Beides, würde ich sagen
>
> Die Formel ist doch ganz einfach und läßt sich sogar noch
> verallgemeinern (Beweis mit vollständiger Induktion):
>
> [mm](f_1*f_2*f_3*\ldots*f_n)'=f_1'*f_2*f_3*\ldots*f_n\ +\ f_1*f_2'*f_3*\ldots*f_n\ +\ f_1*f_2*f_3'*\ldots*f_n\ +\ \ldots\ +\ f_1*f_2*f_3*\ldots*f_n'[/mm]
Ja, ich hätte ja mal an die Produktregeln denken können... Die hatten wir nämlich auch schon irgendwann einmal bewiesen.
> Damit haben wir
>
> [mm]\left(\produkt_{i=0}^n(x-x_i)\right)'=\summe_{j=0}^{n}\produkt_{0\le i\le n\atop i\not=j} (x-x_i)[/mm]
Vielen vielen Dank - auch wenn's wirklich nicht allzu schwierig ist, ich glaub', alleine wäre ich da nicht drauf gekommen, aber jetzt habe ich damit sogar meine Aufgabe gelöst.
) die Ableitung von [mm] \produkt_{i=0}^n(x-x_i) [/mm] berechnen. Gibt es da eine allgemeine Formel für oder muss ich die mir selber herleiten? Hab's schon versucht und mal für n=1 und n=2 ausgerechnet:
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Die hatten wir nämlich auch schon irgendwann einmal bewiesen. 