Formel von < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Mi 09.03.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Zeigen Sie die Gültigkeit der beiden folgenden Aussagen (und versuchen Sie eventuell eine auf die andere Aussage zurückzuführen)
a) [mm] $(a-b)|(a^n-b^n)$ $\forall a,b\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N} [/mm] $
b) $m|n [mm] \Rightarrow (a^m-b^m)|(a^n-b^n)$ [/mm] (mit $a,b [mm] \in \mathbb{Z}, m,n\in\mathbb{N}$) [/mm] |
Also:
a) habe ich durch die (allgemeine) Polynomdivision [mm] $(a^n-b^n) [/mm] : (a-b)$ gelöst und bei b) scheitere ich leider. b) ist ja die Verallgemeinerung von a). Nur, ich weiß nicht, wie ich hier die Voraussetzung $m|n$ richtig einbauen soll. Was emphiehlt ihr mir hier, etwa auch eine allgemeine Polynomdivision?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo clemenum,
du kannst b) auf a) zurückführen:
[mm]m\ |\ n\quad \Rightarrow\quad n=km[/mm] für ein [mm]k\in\mathbb N[/mm], also gilt [mm]a^n-b^n=a^{km}-b^{km}=(a^m)^k-(b^m)^k[/mm] - jetzt wende a) an.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Mi 09.03.2011 | | Autor: | clemenum |
@Fulla:
Vielen Dank für deine gute Idee, ich bin nun auf die Lösung gekommen! ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Do 10.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie die Gültigkeit der beiden folgenden Aussagen
> (und versuchen Sie eventuell eine auf die andere Aussage
> zurückzuführen)
> a) [mm](a-b)|(a^n-b^n)[/mm] [mm]\forall a,b\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}[/mm]
Noch ein Hinweis hierzu: fuer $0 [mm] \neq [/mm] a [mm] \neq [/mm] b$ gilt [mm] $\frac{a^n - b^n}{a - b} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n - 1 - k}$ [/mm] -- das folgt direkt aus der geometrischen Summenformel [mm] $\frac{1 - \alpha^n}{1 - \alpha} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n-1} \alpha^k$, [/mm] wenn man [mm] $\alpha [/mm] = b/a$ betrachtet.
Man kann das also auch so explizit ausrechnen, ohne viel herumzurechnen :)
LG Felix
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