Formel von de Moivre < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:07 Do 31.10.2013 | | Autor: | Lila_1 |
| Aufgabe | Zeigen Sie unter Verwendung der Additionstheoreme für cos und sin mittels Induktion die Formeln von de Moivre:
cos(n*x)= [mm] cos^n*x [/mm] - [mm] (((n(n-1))/1*2)*sin^2*x)*(cos^{n-2}*x) [/mm] +...
sin(n*x) = n*sin(x) * (cos^(n-1)*x) - (((n(n-1)*(n-2))/1*2*3)) * [mm] sin^3*x* [/mm] (cos^(n-3)*x) +... |
Induktionsanfang ist mir klar
IA: für n = 0 ist
[mm] cos(1*x)=1=cos^1*x
[/mm]
IV: somit gilt die Formel für ein festes n [mm] \in [/mm] N
IS: hier komm ich nicht weiter
kann mir jmd. einen Hinweis geben
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Do 31.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie unter Verwendung der Additionstheoreme für cos
> und sin mittels Induktion die Formeln von de Moivre:
> cos(n*x)= [mm]cos^n*x[/mm] - [mm](((n(n-1))/1*2)*sin^2*x)*(cos^{n-2}*x)[/mm]
> +...
>
> sin(n*x) = n*sin(x) * (cos^(n-1)*x) -
> (((n(n-1)*(n-2))/1*2*3)) * [mm]sin^3*x*[/mm] (cos^(n-3)*x) +...
> Induktionsanfang ist mir klar
> IA: für n = 0 ist
> [mm]cos(1*x)=1=cos^1*x[/mm]
> IV: somit gilt die Formel für ein festes n [mm]\in[/mm] N
> IS: hier komm ich nicht weiter
> kann mir jmd. einen Hinweis geben
Hallo,
der gewünschte Hinweis kann gegeben werden:
Du brauchst (wie schon in der Aufgabenstellung angegeben) die Additionstheoreme
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme
Für den Induktionsschritt benötigst du sie ganz speziell für sin(nx+x) und cos(nx+x).
Gruß Abakus
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Do 31.10.2013 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Lila,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Bitte stelle eine beantwortete Frage nicht unkommentiert wieder auf "unbeantwortet".
Was ist Dir noch unklar? Welche Frage hast Du noch?
Bitte formuliere diese konkreten Rückfragen, damit man Dir auch helfen kann.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Lila_1 |
ich weiß, dass ich die Addionstheoreme für den Induktionschritt benutzen muss , aber habe keinen Ansatz wie ich sie benutzen kann/soll.
Deshalb meine Frage, ob ihr mir ein Tipp geben könnt, wie ich anfangen soll.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Fr 01.11.2013 | | Autor: | abakus |
> ich weiß, dass ich die Addionstheoreme für den
> Induktionschritt benutzen muss , aber habe keinen Ansatz
> wie ich sie benutzen kann/soll.
> Deshalb meine Frage, ob ihr mir ein Tipp geben könnt, wie
> ich anfangen soll.
>
> Danke
Induktionsvoraussetzung: die von dir genannten Formeln gilt für sin(n*x) bzw. cos(n*x).
Induktionsbehauptung: Sie gelten entsprechend für
sin((n+1)*x) bzw. cos((n+1)*x).
Da aus dem Produkt (n+1)*x durch Ausmultiplizieren die SUMME n*x+x wird, sind wir also beim Sinus bzw. Kosinus einer SUMME angelangt, und für so etwas gibt es Additionstheoreme.
Also: sin(nx+x)=sin(nx)*cos(x)+cos(nx)*sin(x).
Und was sin(nx) bzw. cos(nx) angeblich ist, steht in deinen Induktionsvoraussetzungen.
Gruß Abakus
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