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Forum "Operations Research" - Formulierung als SOCP
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Formulierung als SOCP: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:39 Fr 09.10.2020
Autor: sync

Hallo zusammen, ich arbeite mich durch das Buch Optimization Models von Calafiore und Ghaoui. Dazu löse ich einige Aufgaben aus dem Uebungsbuch, welches es []hier gibt. Es geht um Aufgabe 10.3. Hier geht es darum, dass ein Punkt vom Ursprung zu einem Zielpunkt [mm] p = [4, 2.5]^T[/mm] wandert. Dabei durchquert er drei verschiedene Ebenen, jede bremst den Punkt ein wenig anders. D.h. am Anfang ist der Punkt mit einer Geschwindigkeit von [mm]1[/mm] unterwegs, in Ebene 2 wird seine Geschwindigkeit reduziert auf [mm] \frac{2}{3}[/mm] und in Ebene 3 auf [mm] \frac{10}{12}[/mm]. Im Link ist eine Skizze ersichtlich und macht das Ganze klar. Ziel ist es, das ganze als ein SOCP zu formulieren wobei die totale Reisedauer minimiert werden soll.

Wenn wir mit [mm] p_1[/mm] und [mm] p_2[/mm] die [mm] x[/mm] Koordinate bezeichnen, an dem der Punkt von Ebene eins zu Ebene zwei wandelt sowie den an dem der Punkt von Ebene zwei zu Ebene drei, dann können wir die Längen in jedem Segment berechnen. Die Längen werden mit [mm] l_1, l_2, l_3[/mm] beschriftet. Mit der Distanz und Geschwindigkeit kann man dann die totale Zeit berechnen. Es gilt klarerweise (siehe Skizze)

[mm]l_1 = \sqrt{1 + p_1^2}[/mm]
[mm]l_2 = \sqrt{1 + (p_2-p_1)^2}[/mm]
[mm]l_3 = \sqrt{0.5^2 + (4-p_1-p_2)^2}[/mm]

natürlich muss jedes [mm]l_1 \ge 0 [/mm]. Im Text steht, man soll argumentieren wieso man [mm]l_1 = \dots[/mm] schreiben kann als [mm]l_1 \ge \dots[/mm]. Das verstehe ich noch. Aber ich habe mühe die "Objective function" auf einen lineare Funktion zu bringen. Für ein SOCP muss diese ja die Form [mm]c^Tx[/mm] haben. Mein Problem hier ist, dass ich weiss [mm]t = \frac{s}{v}[/mm], also Zeit ist Strecke durch Geschwindigkeit. Mit den Variablen von oben

[mm]l_1 + \frac{3}{2}l_2 + \frac{12}{10}l_3[/mm]

Was in einer solchen linearen form ist, wo [mm]c=[1, 1.5, 1.2][/mm]. Mein Problem ist aber, dass ich ja auch die Variablen [mm]p_1, p_2[/mm] habe und wenn ich diese einsetzen für die Strecken [mm]l_i[/mm] krieg ich keine lineare Funktion mehr für die Objective Function. Evt kann mir hier jemand weiterhelfen. Danke euch

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Formulierung als SOCP: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:19 Fr 09.10.2020
Autor: statler

Hallo und willkommen!

Ich kenne das Buch nicht und deswegen auch die vorgesehene Herangehensweise nicht. Mein Lösungsweg sähe ganz anders aus (und führt anscheinend zu einem ziemlichen Gewürge).
  

> [mm]l_1 = \sqrt{1 + p_1^2}[/mm]
>  [mm]l_2 = \sqrt{1 + (p_2-p_1)^2}[/mm]
>  [mm]l_3 = \sqrt{0.5^2 + (4-p_1-p_2)^2}[/mm]

Nach meinem Verständnis der Skizze ist
[mm]l_3 = \sqrt{0.5^2 + (4-p_2)^2}[/mm]
richtiger.

Ich denke am Wochenende noch mal nach.
Viele Grüße
Dieter

Bezug
                
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Formulierung als SOCP: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:30 Fr 09.10.2020
Autor: sync

Hallo Dieter

Da hast du natürlich recht betreffend der Länger von [mm]l_3[/mm]. Danke für deine Hilfe

Bezug
        
Bezug
Formulierung als SOCP: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:09 Di 13.10.2020
Autor: leduart

Hallo
eigentlich werden solche Probleme sehr viel einfacher mit den Winkeln zu den Normalen der Ebenen gelöst. Kennst du das Brechungsgesetz, [mm] sin(\alpha)/sin(\beta)=v1/v2 [/mm]
während man mit den Streckenlängen und Wurzeln große Schwierigkeiten hat.
Grub leduart

Bezug
                
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Formulierung als SOCP: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:32 Mi 14.10.2020
Autor: sync

Hallo leduart

danke für deinen Kommentar. Dann lass mich einmal es via Winkel versuchen. Der Grund warum ich auf Längen gekommen bin, da in einem SOCP ja natürlicherweise Normen vorkommen, also Längen von Vektoren.

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Formulierung als SOCP: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Mi 14.10.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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