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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Fortsetzbarkeit
Fortsetzbarkeit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Fortsetzbarkeit: kurze Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 Fr 13.01.2006
Autor: kunzm

Aufgabe
DGL mit nicht auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] fortsetzbarer Lösung

Es seien

[mm] $y'(t)\,=\,2t\,y^2(t)$, [/mm]

[mm] $y(0)\,=\,y_0\,>\,0$ [/mm]

Lösen sie die DGL, geben Sie den maximalen Definitionsbereich an und erläutern Sie warum die Lösung nicht fortsetzbar ist auf [mm] $\mathbb{R}$. [/mm]

Hallo,

ich denke es ist nur eine kurze Sache, aber mir leuchtet nicht ein warum die Lösung nicht Fortsetzbar sein Soll. Das was ich bisher gemacht habe hab ich dazugeschrieben:

Es gilt:

[mm] \large$\frac{d\,y(t)}{dt}\,$\normalsize$\,=\,2t\,y^2(t)$ [/mm]

[mm] \large$\frac{1}{y^2(t)}\,$\normalsize$d\,y(t)\,=\,2t\,dt$ [/mm]

[mm] \large$\int\frac{1}{y^2(t)}\,$\normalsize$d\,y(t)\,=$\large$\,\int$\normalsize$\,2t\,dt$ [/mm]

[mm] -\large$\frac{1}{y(t)}$\normalsize$\,=\,t^2$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]
[mm] $y(t)\,=-$\large$\,\frac{1}{t^2}$\normalsize $D=\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}$ [/mm]

Beziehungsweise mit der Anfangsbedingung [mm] $D=\mathbb{R}$. [/mm]

Und warum sollte ich das nicht fortsetzten können?

Gruß und Danke, Martin


        
Bezug
Fortsetzbarkeit: Integrationskonstante!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:41 Fr 13.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Martin!



> [mm]-\large[/mm] [mm]\frac{1}{y(t)}[/mm][mm] \normalsize[/mm] [mm]\,=\,t^2[/mm]

[notok] Wo ist denn Deine Integrationskonstante?

[mm] $-\bruch{1}{y(t)} [/mm] \ = \ [mm] t^2 [/mm] \ [mm] \red{+ \ C}$ [/mm]


Damit wird:  $y(t) \ = \ [mm] -\bruch{1}{t^2+C}$ [/mm]


Und nun versuche aus dem Anfangswert $y(0) \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$ eine Bedingung für $C_$ aufzustellen.

Gibt es hierfür Lösungen bzw. Werte für $C_$, die diese Bedingung erfüllen?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Fortsetzbarkeit: ups..
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:00 Fr 13.01.2006
Autor: kunzm

Physik im Hauptstudium zerstört die Einsicht an der Notwendigkeit einer Integrationskonstanten... man möge mich teeren und federn.

Martin

Bezug
                
Bezug
Fortsetzbarkeit: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 22:04 Fr 13.01.2006
Autor: kunzm

Hmm,

jetzt muss ich doch nochmal fragen. Selbst wenn ich die Integrationskonstante mit dazu nehme, dann sagt mir meine Anfangsbedingung doch eigentlich:

[mm] $y(0)=-\frac{1}{C}:=y_0>0$ [/mm]

woraus doch nur folgt, dass C kleiner Null sein muss. Die Definitionslücke ist dann eben bei [mm] $t=\sqrt{-C},\,C<0$, [/mm] und das ist doch, wenn auch nicht stetig hebbar, hebbar:

Sei [mm] $y(t=\sqrt{-C}):=puste\in\mathbb{R}$. [/mm]

Was kapier ich denn da nicht? Ist die Fortsetzbarkeit irgendwie an die Stetigkeit gebunden?

Gruß, Martin

Bezug
                        
Bezug
Fortsetzbarkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:01 Mo 16.01.2006
Autor: matux

Hallo kunzm!


Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.

Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück [kleeblatt] .


Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent

Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.


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