Fourier-Analysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Mi 09.03.2005 | | Autor: | yves |
hi,
bin absoluter neuling und hoffe, meine frage ist wie folgt verständlich formuliert:
ich versuche derzeit, mich in ökonometrische methoden zur regression von kostengleichungen einzuarbeiten. dabei benutzt man neben einer taylor-approximation ergänzend sogenannte trigonometrische fourier-terme.
leider habe ich überhaupt keine vorstellung, was diese terme im rahmen der approximation leisten. könnt ihr mir dafür ein anschauliches beispiel liefern?
auch in diesen kontext gehört meine anschlussfrage: bei der beschäftigung mit der anwendung der fourier-terme erscheint in den formeln nie die vollständige fourier-reihe, sondern immer nur ein "teil". wie erklärt sich das? welchen effekt hat das weglassen bestimmter terme, insbesondere der [mm] u_{0}?
[/mm]
nur fürs bessere verständnis: die häufig benutzte approximation der log-kostenfunktion lautet:
ln c = [mm] u_{0} [/mm] + b'x + 0,5 x'Ax + [mm] \summe_{i=1}^{I} [u_{h} cos(k_{h}x) [/mm] + [mm] v_{h} sin(k_{h}x)]
[/mm]
DANKE!!!
yve
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> hi,
>
> bin absoluter neuling und hoffe, meine frage ist wie folgt
> verständlich formuliert:
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>
> ich versuche derzeit, mich in ökonometrische methoden zur
> regression von kostengleichungen einzuarbeiten. dabei
> benutzt man neben einer taylor-approximation ergänzend
> sogenannte trigonometrische fourier-terme.
>
> leider habe ich überhaupt keine vorstellung, was diese
> terme im rahmen der approximation leisten. könnt ihr mir
> dafür ein anschauliches beispiel liefern?
>
> auch in diesen kontext gehört meine anschlussfrage: bei der
> beschäftigung mit der anwendung der fourier-terme erscheint
> in den formeln nie die vollständige fourier-reihe, sondern
> immer nur ein "teil". wie erklärt sich das? welchen effekt
> hat das weglassen bestimmter terme, insbesondere der
> [mm]u_{0}?
[/mm]
>
> nur fürs bessere verständnis: die häufig benutzte
> approximation der log-kostenfunktion lautet:
> ln c = [mm]u_{0}[/mm] + b'x + 0,5 x'Ax + [mm]\summe_{i=1}^{I} [u_{h} cos(k_{h}x)[/mm]
> + [mm]v_{h} sin(k_{h}x)]
[/mm]
Die Fourierreihe konvergiert gegen die Funktion bezüglich der 2-Norm. Dass heißt anschaulich, dass der Flächeninhalt des Fehlers immer kleiner wird, je länger deine Reihe wird. Oder in Formeln, dass das Integral der Funktion, die den Unterschied zum Quadrat genommen immer kleiner wird als ein vorgegebenes Epsilon:
$ [mm] \integral_{}^{} [/mm] {|f(x) - [mm] F(f(x))|^2 [/mm] dx} = 0$
Als F(f(x)) bezeichne ich die Fourierreihe (also mit unendlich vielen Gliedern).
Leider sagt das nichts darüber aus, ob mit wachsender Länge der Reihe, diese auch punktweise gegen die Funktion konvergiert. Also wie gut die Reihe an jedem Punkt der Funktion nahe kommt. Glücklicherweiser ist das für stetige Funktionen auch der Fall und ich vermute, ihr werdet bei den ökonometrischen Betrachtungen keine perversen Funktionen haben wie der Betrag oder Sägezahnfunktion oder sowas...
Zur zweiten Frage: Hier wird wahrscheinlich die Periodizität ausgenutzt. Wenn man von der Ursprungsfunktion weiß, dass sie gerade ist, also f(x) = f(-x), dann fallen z.B. alle Sinus-Koeffizienten weg. Ist sie ungerade, also f(x) = - f(-x), dann fallen alle Kosinuskoeffizienten weg (und auch das [mm] $u_0$). [/mm] Man muss dabei aber auf die Periodizität der Funktion achten (nein ich wollte nicht schreiben, man muss auf die Periode achten...*hust)
Vielleicht gibst du mal ein Beispiel, an dem man das erklären kann...
Ansonsten hoffe ich, dir schonmal geholfen zu haben... 
Gruß Micha
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:04 Mi 09.03.2005 | | Autor: | yves |
erstmal DANKE für die rasche antwort! das hilft schon mal ein stück weit.
eine konkrete fragestellung, auf die mein problem zutrifft, ist die folgende:
in ökonometrischen basiswerken liest man, eine funktion g(x) sei zunächst beliebig gut approximierbar mittels einer fourier-expansion. die zahl der terme lässt sich nun durch hinzunahme eines linearen und eines quadratischen terms nachhaltig reduzieren. folglich lautet die vorgestellte approximationsfunktion:
[mm] g(x|\theta)=
[/mm]
[mm] a_{0}+bx+0,5xCx+\summe_{\alpha=1}^{A}\summe_{j=-J}^{J}a_{j\alpha}e^{ijk_{\alpha}x}=
[/mm]
[mm] \summe_{\alpha=1}^{A}\{a_{0\alpha}+2\summe_{j=-J}^{J}[u_{j\alpha}cos(jk_{\alpha}x)-v_{j\alpha}sin(jk_{\alpha}x)]}
[/mm]
dabei steht i für [mm] \wurzel{-1} [/mm] und es gilt [mm] u_{0\alpha}=a_{0\alpha}. [/mm] die eingehenden größen sind dabei auf der bereich 0 bis 2/pi normiert.
in der praxis kommen dann allerdings vereinfachte versionen zum einsatz; konkret findet sich im rahmen der regression von kostenfunktionen häufig (wie vorhin schon geschrieben):
[mm] lnc=a_{0}+bx+0,5xCx+\summe_{h=1}^{H}[u_{h}cos(k_{h}x)+v_{h}sin(k_{h}x)]
[/mm]
wie lässt sich das weglassen der [mm] a_{0\alpha}-terme [/mm] intuitiv und analytisch erklären? welchen effekt hat das auf die approximation? wie wähle ich die "richtigen", also die für die gute der approx. entscheidenden trigonomtrischen terme aus?
eine letzte frage diesbezüglich hat mit der eigenschaft der linearen homogenität von kostenfunktionen zu tun. in den mir vorliegenden quellen steht, dass man inputpreise nicht ohne weiteres in die trigonometrischen terme einbinden kann aufgrund der geforderten eigenschaft der lin. homongenität. wie ist das zu verstehen? ich schätze, dass ich hier probleme habe, hat damit zu tun, dass mir die vorstellung davon fehlt, auf welche weise diese trigonometrischen terme die approx.fkt. an die "wahre" anpassen.....
grundsätzliche annahmen bezüglich der kostenfunktion sind übrigens lin. homogenität, konst. skalenerträge, homothetische technologie (über dualität eingebungen), monotonie und konkavität.
DICKES danke für sämtliche antwortversuche schon im voraus!
|
|
|
| |
|
Hallo yves,
Das Weglassen der Konstanten Terme der Fourierreihe lässt sich dadurch erklären das diese ja in dem dazuaddierten Polynom bereits vorhanden sind.
eine Vermutung zur Auswahl der richtigen Fourierterme:
Man hat eine Anzah daten zur Verfügung und macht einfach eine vollständige DFT(bestimmt also so viele fourierkoeffiziente wie mit diesen Daten möglich) und lässt die betragsmäßig kleinen weg.
gruß
mathemaduenn
|
|
|
|
